Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.8 Abschätzungen für FlüsseBerechne nun A DET A =: N = (N ij ) i,j∈{1,...,d}:⎧1I2⎪⎨i−2 2 d−i ⊗ J 2 i−1 i = j0N ij =( )i > j11( )⎪⎩ I2 i−1 2 d−j ⊗ ⊗ I 2 j−i−1 ⊗ J 2 i−1 ⊗ 1 −1 i < j−1Weiterhin stellt man fest, dass N 2 = 2N ist. Zusammengefasst ergibt sich, dass diegesuchte Größe∥∥A DET L DE+ A∥ = 1 ∥∥N 2∥ ∥2 4 2= 1 4 ‖2N‖ 2 = 1 2 ‖N‖ 2 = 1 2 ϱ ( NN T ) 12ist. NN T ist eine Blockdiagonalmatrix mit Diagonalblöcken(NNT ) ii = 12 i−3 I 2 i−1 ⊗ J 2 i−1 + 12 i−2 d∑k=i+1I 2 d−k ⊗Mit Hilfe des Satzes von Geršgorin folgt nun endlich‖N‖ 2 2 ≤ max2∑d−1maxi=1,...,d r=1,...,2 d−1 s=1∣ (( NN T ) )iirs( 1 −1−1 1)⊗ I 2 k−i−1 ⊗ J 2 i−1 .∣ ≤ max 4 + 4 (d − i) = 4d .i=1,...,dBeide Abschätzungen sind sogar Gleichheiten, wie sich durch Konstruktion einer Ausgangsverteilungzeigen lässt, bei der der Faktor √ d erreicht wird. Wähle hierzu w 0 so,dass für die beiden Endknoten jeder Kante gilt, dass einer die Last 2d hat, der andere 0(zum Beispiel indem die Knoten i die Last 2d erhalten, für die die Binärdarstellung voni − 1 eine gerade Anzahl Einsen enthält). Dann sind alle Komponenten des minimalenFlusses x Diff betragsmäßig 1 und dessen Norm ist daher∥∥∥x Diff ∥∥2= √ N = √ d · 2 d−1 .Der Dimension-Exchange-Fluss ist auf allen 2 d−1 Kanten der ersten Farbe d und aufallen anderen 0 und seine Norm somit∥∥∥x DE ∥∥2= √ 2 d−1 · d 2 = √ d · √d· 2 d−1 .Das folgende Lemma wird benötigt für Hypercubeflüsse, die mit Vorwärts-rückwärts-Technik generiert werden.Lemma 3.43. Seien i, d ∈ N mit 1 ≤ i ≤ d. Dann gelten folgende Gleichheiten:∑i−1( )11 −12 k I 2 i−k−1 ⊗ ⊗ J−1 1 2 k−1 + 12 i−1 J 2 i−1 = I 2 i−1d∑k=i+1k=1(11 −12 d−k+1 J 2 d−k ⊗ −1 1)⊗ I 2 k−i−1 + 12 d−i J 2 d−i = I 2 d−i 79