Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-Verfahrenbzw. im Fall G (1) = G (2) auf3.6.7 Gitter und Torim∑(1) −1m ≤ 1 + i = 1 ( )2 m(1) m (1) − 1 + 1 .i=1Gitter und Tori sind nichts anderes als Produkte von Pfaden bzw. Zyklen. Entsprechendgelten für die Eigenwertanzahlen die Abschätzungen aus dem letzten Abschnitt. Bei einzelnenGraphen und Verfahren liegt die tatsächliche Eigenwertanzahl etwas unterhalb derso berechneten Schranken, zumindest der Koeffizient vor n 2 stimmt aber Experimentenzufolge exakt. Vergleiche hierzu auch Tabelle 3.2.Ist beim Torus mindestens eine Dimension ungerade, so benötigt man zur Einfärbungmindestens fünf Farben. Falls sogar beide Dimensionen ungerade sind, gibt es keineEinfärbung mit minimaler Farbanzahl mehr, die die Produktstruktur respektiert, vgl.Abbildung 3.5. Allerdings hat diese Einfärbung zwei gravierende Nachteile: Der Aufwandzur Berechnung der Eigenwerte ist (im quadratischen Fall) O ( n 3) und die Anzahl derEigenwerte ist verglichen mit der der Diffusionsmatrix zu hoch. Wesentlich günstiger1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 15(1)(2)(3)(4)(5)16 17 18 19 2021 22 23 24 25Abbildung 3.5: Einfärbung des Torus T 2k+1ist es, sechs Farben zu verwenden. Zur Unterscheidung der verschiedenen Einfärbungenwerden die folgenden Bezeichnungen benutzt: T [6]k= C k × C k und T [C3]k= C [3]k× C[3] k .3.6.8 Hypercube H dDer Hypercube H d der Dimension d wird anschaulich so nummeriert und mit d Farbeneingefärbt, dass parallele Kanten dieselbe Farbe besitzen, vgl. Abbildung 3.6. Verringerte62