Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-VerfahrenKommunikationsschritte........Rechnung 1: 1 2 3Rechnung 2:Rechnung 3:Rechnung 4:2 334 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 44 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 44 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 44 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 411122 3Abbildung 3.9: Ablauf der Rechnung beim DE-OPXcc am Beispiel von 4 Schritten und4 Farben‖x(α)‖ 2‖x min ‖ 2T 8, DE-OPTfb21.81.61.41.210 0.2 0.4 0.6 0.8 1α‖x(α)‖ 2‖x min ‖ 2T 8, DE-OPTcc21.81.61.41.210 0.2 0.4 0.6 0.8 1αAbbildung 3.10: Fortsetzung des Beispiels aus Abbildung 3.7 für die beiden FlussreduzierungsvariantenDefinition 3.25. Sei A ∈ R n×q . Eine Matrix X ∈ R q×n heißt Pseudoinverse oderMoore-Penrose-Inverse zu A genau dann, wenn folgende vier Bedingungen erfüllt sind:AXA = A (3.2)XAX = X (3.3)(AX) T = AX (3.4)(XA) T = XA (3.5)Die Pseudoinverse von A ist hierdurch eindeutig bestimmt und wird mit A + bezeichnet.Ist A quadratisch und regulär, so ist A + = A −1 .Satz 3.26. Es sei D = diag (d 1 , . . . , d n ) ∈ R n×n eine Diagonalmatrix. Dann ist D + =diag ( d + 1 , . . . , d+ n)gegeben durchd + i={1d ifalls d i ≠ 00 sonst .Satz 3.27. Es sei A ∈ R n×q und A = UΣV T deren Singulärwertzerlegung. Dann giltA + = V Σ + U T .68