Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

8 Zusammenfassung der ErgebnisseZur Lösung des Loadbalancing-Problems wurden zahlreiche Verfahren aus den zwei KlassenDiffusion und Dimension-Exchange untersucht und verglichen; dabei wurden sowohlendliche als auch nicht-endliche Varianten betrachtet. Das Hauptaugenmerk lag hierbeiauf den in dieser Arbeit neu eingeführten endlichen Dimension-Exchange-Verfahren.Die wichtigsten neu eingeführten Loadbalancing-Verfahren sind das auf einer Dreitermrekursionbasierende DE-OPS und das einfachere DE-OPT aus Abschnitt 3.5. Zusätzlichwurden mit SDE-OPS und SDE-OPT symmetrische Varianten konstruiert.In Abschnitt 3.6 konnten für fast alle Standardgraphen Formeln für die Eigenwerte derIterationsmatrizen M DE und M SDE bestimmt werden, wenn auch zum Teil nur für denwichtigen Fall des Kantengewichtes α = 1 2. Die Anzahl der von den Verfahren benötigtenKommunikationsschritte und damit die Laufzeit der Verfahren hängt direkt ab von derAnzahl verschiedener Eigenwerte. Über die Berechnung der Eigenwerte konnte so gezeigtwerden, dass die Laufzeiten der Dimension-Exchange-Verfahren in vielen Fällen unterdenen der Diffusionsvarianten liegen. Insbesondere bei sehr regelmäßig strukturiertenGraphen ergeben sich hier oft Verbesserungen um Faktoren zwei oder vier wie bei Zyklenoder Gittern und Tori; aber auch bei unstrukturierten Graphen hat Dimension-Exchangekleinere Vorteile. Nicht zu empfehlen ist Dimension-Exchange lediglich bei solchen starkstrukturierten Graphen, die sich nur unregelmäßig einfärben lassen, wie Tori ungeraderDimension, oder die zu große Knotengrade aufweisen wie der komplette Graph oder derStern. In einigen konkreten Fällen kann man die Laufzeit mit Dimension-Exchange sogarminimieren, zum Teil gelingt dies auch mit der hier ebenfalls neu vorgestellten Vorwärts-Rückwärts-Implementierung von Diffusionsverfahren (FB-OPX), vergleiche Tabelle 3.4.Während Diffusionsverfahren vereinzelt numerische Probleme aufweisen, ist die Konvergenzbei Dimension-Exchange praktisch nie gefährdet, sofern man zur Anordnung derEigenwerte des Graphen gewichtete Leja-Punkte verwendet.Als grundsätzlicher Nachteil von Dimension-Exchange sind die im Allgemeinen nichtminimalenFlüsse zu nennen, so dass im Vergleich zur Diffusion mehr Lasten über weitereWege verschoben werden. Durch Anwendung der vorgestellten Flussreduktionstechniken(DE-OPTfb, DE-OPTcc) lässt sich dieser Effekt jedoch deutlich reduzieren. Das zyklischeDurchlaufen der Farben aus Abschnitt 3.7.2 schafft dies sogar, ohne die Laufzeit des Verfahrensnennenswert zu verlängern. Eine genaue Analyse der produzierten Flüsse wurdein Abschnitt 3.8 vorgenommen. Für einen gegebenen Graphen und eine bestimmte VerfahrensklasseALG (Diffusion, symmetrisches / unsymmetrisches Dimension-Exchangeoder eine der Varianten zur Flussreduktion) lässt sich die Höhe des Flusses im WorstCase direkt berechnen. Gemäß Satz 3.36 liegt die l 2 -Norm des Flusses im schlimms-129