Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-VerfahrenBeweis von Satz 3.33. Wir beweisen den Satz zunächst für die einfachste Algorithmenklasse,nämlich ALG-FOS. Für den Fluss x ALG kFOS nach k Schritten gilt:x ALGFOSk= xALGk−1 FOS + αAALG T w k−1∑k−1= α A ALGT M ALGl w 0l=0∑k−1= α A ALGT M ALGll=0∑k−1= αl=0A ALGTm ∑i=2∑m ∑k−1= αA ALGT= αA ALGT m ∑i=2 l=0i=2= A ALGT m ∑i=2∑m z ii=2µ ALG li ziµ ALG li zi1 − µ ALGi1 − µ ALGi1 − µ ALGiλ ALGikz ikz ida µ ALGi= 1 − αλ ALGiIm diesem einfachen Fall ist die Aussage wegen lim k→∞ µ ALG ki = 0, i = 2, . . . , m hiermitbereits bewiesen. Nun wird der allgemeine Fall p k (t) = ∑ kr=0 ϕ rt r betrachtet, alsow k =k∑ϕ r M ALGr w 0 .r=0Jeder Summand kann aufgefasst werden als ein nach r Schritten abgebrochenes FOS-Verfahren. Damit erhält man:x ALGk =k∑r=0ϕ r x ALG rFOS= A ALGT k ∑= A ALGT m ∑∑mϕ rr=0 i=2i=2= A ALGT m ∑i=2= A ALGT m ∑i=21λ ALGi1λ ALGi1λ ALGi1 − µ ALG rik∑ (r=0λ ALGiz iϕ r · 1 − ϕ r µ ALGi(p k (1) − p k (µ ALGi )()1 − p k (µ ALGi ) z i)r ) z iz i72