Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-VerfahrenM DE ergeben sich diesmal allerdings komplexe Eigenwerte; da die Anzahl der Eigenwertefür den wichtigen Fall α = 1 2gegenüber der ersten Einfärbung aus Abbildung 3.4Experimenten zufolge sogar zunimmt, wird auf die Berechnung hier verzichtet.Auch im symmetrischen Fall soll hier nur auf den Fall⎛α = 1 2etwas⎞näher eingegangen√1√2 1werden. Es wird die Matrix Q T M SDE Q mit Q = I n ⊗ ⎜ 20⎝− √ 1 √2 1 ⎟3 20⎠ betrachtet. Nach0 0 1Streichen der 1., 4., 7. usw. Spalte und Zeile (diese enthalten nur Nullen) hat diese Matrixdie Gestalt⎛14 6 √ 2 4 4 4 √ ⎞26 √ 2 12 4 √ 24 4 √ 2 14 6 √ 2 41. .. .32...6 √ 2 12 4 √ 2⎜⎝ 4 4 4 √ 2 14 6 √ ⎟24 √ 2 6 √ ⎠2 12Die gesuchten Eigenwerte sind 0 sowie für j = 1, . . . , n 3[√ (21t (j)1,2 = 1 ) ( ) ]513 + 4c (j) ± 4324 + c(j) 4 + c(j)mit c (j) = cos 6πjn .Als letzter Spezialfall soll hier kurz betrachtet werden, dass n durch 5 teilbar ist. Hierzuexistieren nur experimentell ermittelte Resultate. Analog zu C n [3] kann man nun 5verschiedene Farben im Wechsel verwenden, siehe C n[5a] in Abb. 3.4. Bei Verfahren, diedie symmetrische Matrix M SDE verwenden, reduziert sich dann die Anzahl der Eigenwerteund damit der Schritte, vgl. Tabelle 3.2. Andererseits erhöht sich die Anzahl derTeilschritte von 3 auf 5. Vertauscht man die Farben 2 und 3 (C n[5b] ), dann sind die zuden neuen Farben gehörenden Teilschritte 1 und 2 bzw. 3 und 4 unabhängig voneinanderund können somit gleichzeitig ausgeführt werden. Fasst man die gleichzeitig ausgeführtenTeilschritte jeweils zu einem Teilschritt zusammen, so gelangt man zu der EinfärbungC [5c]nC [5c]n, die mit drei Farben auskommt. Experimente zeigen, dass die Matrizen zu C n[5b] undgenau dieselben Eigenwerte besitzen.3.6.6 ProduktgraphenEs sei G = G (1) ×G (2) ein Produktgraph mit ∣ ∣V (1)∣ ∣ = p und ∣ ∣V (2)∣ ∣ = q. Der Graph G (i) seimit c (i) Farben gefärbt (i = 1, 2). Die Verfahrensmatrizen seien M DE(i) = M (i) · · · M (i)c (i) 1und M SDE(i) analog. Dann lässt sich der Produktgraph G mit c = c (1) + c (2) Farbeneinfärben, wobei die Farben 1, . . . , c (1) für die Kanten in Richtung von G (1) verwendet60