Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.9 Aufwand der Verfahrenmuss man zusätzlich die Anzahl c der Farben berücksichtigen, da hierdurch (im wesentlichen)die Anzahl der Teilschritte pro Schritt bestimmt wird. Jeder Teilschritt bestehtaus einer Kommunikationsoperation und einer festen Anzahl von Rechenoperationen. Dadarüber hinaus die Größe der kommunizierten Daten recht klein ist, wird der Zeitaufwandpraktisch ausschließlich durch die Zahl der Kommunikationen bestimmt.Die DE-OPX-Verfahren benötigen c(m − 1) Kommunikationsschritte. Beim SDE-OPXwerden pro Eigenwert alle Farben zweimal verwendet, was auf 2c(m − 1) Schritte führt.Um Zeit zu sparen, kann man jedoch aufeinander folgende Teilschritte mit der gleichenFarbe zusammenfassen, vergleiche Abbildung 3.12. Dann genügen (2c − 2)(m − 1) + 1Kommunikationsschritte.1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1Abbildung 3.12: Kommunikationsschritte beim SDE-OPX am Beispiel c = 4, m = 4Hierzu bedarf es folgender kleiner Abänderung im Verfahren: Zwischen den Knoten kund l gebe es eine Kante der Farbe c. Zu Beginn des c-ten Teilschritts müssen k und lihre aktuellen Lastwerte w k und w l austauschen. Danach berechnen beide Prozessorennicht nur ihren eigenen Lastwert neu sondern auch den ihres Nachbarn. Dadurch entfälltdie Kommunikation zu Beginn des nächsten Teilschrittes, dem wiederum die Farbe czugeordnet ist. Analog wird für Farbe 1 vorgegangen. Der Vorteil dieser Technik machtsich am stärksten bei Graphen mit nur zwei Farben bemerkbar, da in diesem Fall nurein einziger Kommunikationsschritt mehr gebraucht wird verglichen mit DE-OPX.Wie in den Abschnitten 3.7.1 und 3.7.2 bereits angedeutet, stimmt der Aufwand vonDE-OPXfb mit SDE-OPX überein und für DE-OPXcc ergeben sich c(m−1)+c−1 Schritte.Die direkte Zuordnung der Kommunikationsschritte zu den Farben ergibt in einigenFällen bloß eine obere Schranke für den tatsächlichen Zeitbedarf. Dies betrifft solche Graphenbei denen die Anzahl der Farben größer ist als der maximale Knotengrad. Betrachteals Beispiel hierzu Abbildung 3.13. Durch Vermischung der zu den Farben gehörendenTeilschritte sind für 5 Schritte (Eigenwerte) nicht 5 · 3 = 15 sonder nur 11 Kommunikationsschrittenotwendig. Diese Beobachtung wurde bereits in [XL95] beschrieben.Nun wird die Situation für beliebiges n betrachtet Jeder Prozessor muss pro Eigenwertmit zwei Nachbarn kommunizieren; insgesamt führt dies auf n(m−1) Kommunikationen.Wie die Abbildung verdeutlicht, finden in jedem Kommunikationsschritt⌈ n−12Kommunikationenstatt. Die Gesamtzahl der Kommunikationsschritte ist daher 2n⌉n−1 (m − 1)und nicht 3(m−1), wie obige Formel vermuten ließe. ⌈ Ähnliche⌉Überlegungen ergeben fürden Torus T n [6] , dass nicht 6(m − 1) sondern nur 4nn−1 (m − 1) Kommunikationsschritteanfallen.Dieselben Überlegungen gelten für die Diffusionsverfahren im One-Port-Kommunikationsmodell.83