Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-VerfahrenBeim Hypercube werden die einzelnen Teilschritte durch die verschiedenen Dimensionen(Richtungen der Kanten) festgelegt. Will man den Dimension-Exchange-Ansatzauf beliebige Graphen übertragen, so muss sichergestellt werden, dass jeder Prozessorpro Teilschritt nur mit höchstens einem Nachbarn kommuniziert. Dies wird durch eineEinfärbung der Kanten erreicht. Diese Idee findet sich bereits in [HLM + 90] und [XL92].Definition 3.1. Eine Einfärbung der Kanten (kurz Einfärbung) des Graphen G = (V, E)mit c Farben ist eine Aufteilung der Kantenmenge E in c paarweise disjunkte, nicht-leereTeilmengen E i ,E = E 1 ∪ · · · ∪ E c ,wobei für jedes E i gilt, dass keine zwei Kanten aus E i mit demselben Knoten inzidentsind.Die Anzahl der zur Einfärbung verwendeten Farben bestimmt die Anzahl der Teilschrittepro komplettem Schritt und beeinflusst so die Gesamtlaufzeit der Verfahren. Esstellt sich also die Frage, wie viele Farben notwendig sind, um einen gegebenen Grapheneinzufärben.Definition 3.2. Es sei G = (V, E) ein Graph. Der chromatische Index von G ist definiertals die minimale Anzahl von Farben, die notwendig ist, um die Kanten von G gemäßDefinition 3.1 einzufärben. Der chromatische Index wird mit χ ′ (G) bezeichnet.Der folgende Satz, dessen Beweis z. B. in [FW78] zu finden ist, gibt nun Antwort aufobige Frage.Satz 3.3. Es sei G ein Graph mit maximalem Grad ϱ. Dann gilt für den chromatischenIndex von Gϱ ≤ χ ′ (G) ≤ ϱ + 1 .Wie in [Arj82] festgestellt wird, ist das Problem der Bestimmung einer Einfärbung ausϱ Farben, falls diese existiert, jedoch NP-vollständig. Eine Einfärbung mit ϱ + 1 Farbenist dagegen in polynomialer Zeit berechenbar.3.2 Matrizen für gefärbte GraphenDefinition 3.4. Es sei G = (V, E) ein Graph mit Einfärbung E 1 , . . . , E c . Diese Färbungdefiniert Teilgraphen G i = (V, E i ), i = 1, . . . , c. Die Diffusions- und Laplace-Matrizenzu G i werden mit M i bzw. L i bezeichnet. Die Inzidenzmatrix A i ∈ {0; 1; −1} n×N erhältman, indem man alle Spalten von A, die nicht zur Farbe i gehören, durch Nullspalten ersetzt;im Gegensatz zur üblichen Definition einer Inzidenzmatrix werden die Nullspaltenhier also nicht entfernt.Graph-Beispiel 3.5.Farbe 1 Farbe 21 2340