Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-Verfahrenwobei alle Eigenwerte bis auf 0 erhalten bleiben. Wie man leicht nachrechnet, gehörtzum Eigenwert 1 2 + 1 2 cos ( (T2πn j) der Eigenvektor v j = v j 1 p) , . . . , vj mit( )v j (p − l) (2p − 2j − 1) πl= (−1) p−l · 2 · cos, l = 1, . . . , p − 1nv j p = √ 2 .Nun fehlt noch die Bestimmung der Eigenwerte von M SDE . Hier ergibt sich:⎛⎞3 3 1 13 3 1 11 1 2 2 1 1M SDE = 1 1 1 2 2 1 1. ..81 1 2 2 1 11 1 2 2 1 1⎜1 1 2 2 2⎟⎝1 1 2 2 2⎠2 2 4Es sei ˜M die Matrix, die aus M SDE durch Anhängen einer Nullzeile und -spalte entsteht.Hierdurch vergrößert sich lediglich die Vielfachheit des schon vorhandenen Eigenwertes0 um 1. Dann gilt:⎡⎛˜M = 1 2 QT ⎢⎜⎣⎝3414141214 . ..141214141√224√2412⎞⊗⎟⎠( 1 11 1⎤)Q⎥⎦mit⎛1 ... Q =1⎜⎝√1√2 12√12− 1⎞⎟⎠√2.Es folgt wieder das Ergebnis, dass die Eigenwerte von M SDE und M DE übereinstimmen.58