Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.6 Eigenwerte gefärbter Graphen3.6.3 Zyklus C n mit geradem nDer am leichtesten zu untersuchende Fall ist der Zyklus C n mit geradem n. Hier genügenzwei Farben. Die Kante {1, 2} soll die Farbe 1 erhalten, vgl. Abb. 3.2.1 2 3 4 5 6(1)(2)Abbildung 3.2: Einfärbung des Zyklus C 2kDie zu den Teilgraphen G 1 und G 2 gehörenden Diffusionsmatrizen haben die Gestalt⎛⎞1 − α αα 1 − α1 − α αM 1 =α 1 − α ... ,. .. ⎜⎟⎝1 − α α ⎠α 1 − α⎛⎞1 − α α1 − α αα 1 − α ... M 2 =. .. .⎜1 − α α⎟⎝α 1 − α ⎠α1 − αDann hat die Produktmatrix M DE = M 2 · M 1 die Form⎛⎞A B C BB A B CC B A BB AM DE =C B . . . . .. B CA B⎜B A B C⎟⎝C B A B⎠B C B Amit A = (1 − α) 2 , B = α (1 − α), C = α 2 . Man sieht, dass M DE eine blockzirkulanteMatrix ist. Es gilt nämlich(M DE = Φ A 1 , . . . , A n2)53