Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-VerfahrenBeweis. Nach Satz 3.38 genügt es, die Behauptung für Peakverteilungen zu zeigen. Außerdemstimmen beide Verfahren bei nur zwei Farben überein. O. B. d. A. habe anfänglichnur Knoten 1 eine von 0 verschiedene Last. Ein minimaler Fluss ist dadurch gekennzeichnet,dass der Flusswert für die beiden Kanten, die jeweils denselben Abstand vomKnoten 1 haben, gleich ist. Dies wird durch die Mittelwertbildung der Verfahren genauerreicht.Die Berechnung der Flüsse beim Hypercube vereinfacht sich dadurch ein wenig, dassman die benötigte Pseudoinverse leicht angegeben kann.Satz 3.42. Beim Hypercube H d ist der von DE-XXX und SDE-XXX mit α = 1 2 berechneteFluss in der l 2 -Norm höchstens um den Faktor √ d höher als der minimale Fluss. DieseGrenze ist scharf, d. h. es gibt Fälle, in denen dieser Faktor erreicht wird.Beweis. Zunächst ist festzustellen, dass für α = 1 2beide Verfahren dasselbe Ergebnisliefern. Das SDE-Verfahren hat nämlich bereits nach dem ersten Halbschritt (der miteinem DE-Schritt übereinstimmt) die Gleichverteilung der Last erzielt. Die Behauptungwird nun durch Berechnung der Norm von A DET L DE+ A bewiesen, vergleiche Satz 3.36.A i =(( ) )10 2 d ,(i−1)2 d−1 I 2 d−i ⊗ ⊗ I−1 2 i−1 0 2 d ,(d−i)2 d−1A =d∑i=1A iM i = 1 2 I 2 d−i ⊗ J 2 ⊗ I 2 i−1A DEi= M 1 · · · M i−1 A i(( ) )11= 0 2 d ,(i−1)2 d−1 I2 i−1 2 d−i ⊗ ⊗ J−1 2 i−1 0 2 d ,(d−i)2 d−1A DE =d∑i=1A DEiM DE = 1 2 d J 2 dL DE = 2(I 2 d − 1 )2 d J 2 dDa die Matrix L DE symmetrisch ist und als Eigenwerte nur 0 und 2 besitzt, hat sie alsPseudoinverse L DE+ = 1 4 LDE (verwende L DE = QΣQ T mit Σ = diag(0, 2, . . . , 2) undSatz 3.27). Damit istA DET L DE+ A = 1 4 ADET L DE A = 1 4 ADET AA DET A = 1 4(A DET A) 2.78