Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

4.3 ADI-OPTbezeichnet. Wie in Algorithmus 4.4 zu sehen ist, wird das auf den Eigenwerten desGraphen G (1) basierende OPT abwechselnd auf die beiden Richtungen von G angewandt.So erhält man nach m − 1 Iterationsschritten die Gleichverteilung w = w m−1 . Daseinfache OPT-Verfahren würde dagegen deutlich länger dauern, da die Laplace-Matrixvon G bis zu m(m+1)2verschiedene Eigenwerte haben kann.for k = 1, (. . . , m − 1 do ) ()w k = I − 1 L Diff (1) ⊗ I I − 1 I ⊗ L Diff (1) w k−1λ (1)k+1λ (1)k+1end forAlgorithmus 4.4: ADI-OPT-Verfahren, zweidimensionalNatürlich ist auch ADI-OPT nicht auf zwei Dimensionen beschränkt und die Graphender verschiedenen Richtungen müssen auch nicht identisch sein. Bei verschiedenenGraphen G (i) muss man lediglich vorab d Sätze von Eigenwerten bestimmen. In Algorithmus4.5 wird im ersten Schritt mit allen Richtungen begonnen, Richtungen mitweniger Eigenwerten sind daher früher beendet als andere. Als Bezeichnung hierfür wirdVDI-OPT benutzt (variable directions).for k = 1, . . . , max { m (1) , . . . , m (d)} − 1 do˜w 0 = w k−1for l = 1, . . . , c do {Dimensionsschleife}if k < m (l) ( then)˜w l = I n − 1 I n (d)···n (l+1) ⊗ LDiff (l) ⊗ I n (l−1)···n (1)x = x + 1λ (l)k+1else˜w l = ˜w l−1end ifend forw k = ˜w dend forλ (l)k+1(I n (d)···n (l+1) ⊗ A(l)T ⊗ I n (l−1)···n (1) )Algorithmus 4.5: VDI-OPT-Verfahren, d-dimensionalIn Kapitel 2.5 wurde festgestellt, dass die numerische Stabilität des OPT-Verfahrensvon der Reihenfolge der Eigenwerte λ i abhängt. Diese Eigenschaft überträgt sich direktauf ADI-OPT, wobei die Fehler dank der geringeren Anzahl von Rechenschritten wenigergroß werden, vgl. Abbildung 4.2. Verwendet man die auf Leja-Punkten beruhendeSortierung, so läuft ADI-OPT selbst auf den großen Gittern G 32 und G 64 noch stabil.Wie beim ADI-FOS sind auch hier die berechneten Flüsse nicht mehr l 2 -minimal. Zusätzlichhängen sie nun noch entscheidend von der Reihenfolge der Eigenwerte ab. Wiedie experimentellen Beispiele in Tabelle 4.1 zeigen, erhält man die geringsten Flusswertebei absteigender Sortierung. Aus Gründen der besseren numerischen Stabilität˜w j−1˜w l−193