Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.8 Abschätzungen für FlüsseSDE-XXX DE-XXX DE-XXXfb DE-XXXccP n 1 1 1 1√ √C n 2 | n 2 ≈ 1, 414 2 ≈ 1, 414 1 12 ∤ n < √ 2 ≈ 1, 414 < √ 2 ≈ 1, 414 < 3√ √1119≈ 1, 00277 < 103≈ 1, 0541C n[3]√ √3 | n 395≈ 1, 249 153 √ 113≈ 1, 29119≈ 1, 00277 1C n[5]5 √ √ √35 | n7≈ 1, 237 355≈ 1, 183 12335111≈ 1, 000568 1C n[5b]√5 | n 1453 √ √59≈ 1, 3385≈ 1, 342 15245123≈ 1, 00383 ≈ 1, 0275C n[5c]√5 | n 1453 √ √59≈ 1, 3385≈ 1, 342 15245123≈ 1, 00383 ≈ 1, 0170G k < 2 < 2 < √ √2 ≈ 1, 414 < 52≈ 1, 118√ √T k 2 | k 2 22 ≈ 1, 414 52≈ 1, 1182 ∤ k < 2 < 2, 002 < √ 2 < 1, 183T [6]k2 ∤ k < 2 < 2, 016 < √ 2 < 1, 22 ?T [3C]k2 ∤ k < 1, 93 ? < 2, 078 ? < 1, 307 ? < 1, 18 ?√ √ √H d d dd2 , (1 für d = 1) ∗Tabelle 3.3: Die Werte geben an, um welchen Faktor die l 2 -Norm der von den Verfahrenberechneten Flüsse für α = 1 2im schlimmsten Fall über der Normdes minimalen Flusses liegen kann. Die Werte für die ungeraden Torisind numerisch bestätigt bis k = 45. Theoretisch nachgewiesen sind dieErgebnisse für den Pfad und den Zyklus gerader Länge sowie die erstenbeiden Werte √ für den Hypercube. Bei DE-XXXfb lässt sich für H dd+1nur der Wert2beweisen. Vergleiche hierzu die nachfolgenden Sätze.√∗ 1, 1, 10, √ 20, √ 34, √ 54, √ 81, √ 114, √ 156, √ 208, √ 268für d = 1, . . . , 113 4 5 6 7 8 9 10 11Satz 3.38. Ein Loadbalancing-Verfahren erzeugt minimale Flüsse für jede Ausgangslastverteilungw 0 genau dann, wenn es minimale Flüsse für alle Peak-Ausgangsverteilungw 0,i,p i= (0, . . . , 0, p i , 0, . . . , 0), i = 1, . . . , n, p i ∈ N 0 erzeugt. Hierbei hat Prozessor ianfänglich p i Lasteinheiten, alle anderen Prozessoren haben keine Last.Beweis. Sei w 0 = ( w 0 1 , . . . , w0 n)=∑ ni=1 w0,i,w0 i eine beliebige Ausgangslastverteilungund sei x i der Fluss zu w 0,i,p i, also x i = A ALGT L ALG+ w 0,i,p i, vergleiche Satz 3.35. Dannist der Fluss x zu w 0 x = A ALGT L ALG+ w 0= A ALGT L ALG+ n ∑=i=1w 0,i,w0 in∑n∑A ALGT L ALG+ w 0,i,w0 i = x i .i=1i=175