Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-VerfahrenDefinition 3.18. Es seien A 1 , A 2 , . . . , A m quadratische Matrizen der Größe r × r. Eineblockzirkulante Matrix hat dann die Form⎛⎞A 1 A 2 · · · A mA m A 1 . . . A m−1Φ (A 1 , . . . , A m ) = ⎜⎝.. . ..⎟. ⎠ .A 2 A 3 · · · A 1Die Eigenwerte einer blockzirkulanten Matrix lassen sich, falls die Blockgröße r kleingenug ist, relativ leicht berechnen.Lemma 3.19 ([XL95, Lemma 3.1]). Es sei A = Φ (A 1 , . . . , A m ) eine blockzirkulanteMatrix. Die Eigenwerte von A sind gleich der Vereinigung aller Eigenwerte der folgendenMatrizen A (0) , . . . , A (m−1) . Hierbei ist für j = 0, . . . , m − 1:A (j) =m∑k=1ω (k−1)j A k mit ω = e i 2π m = cos2πm + i sin 2π mAußerdem wird noch eine Aussage über die Eigenwerte von Kroneckerprodukten (sieheDefinition 1.11) benötigt.Lemma 3.20 ([HJ91, Theorem 4.2.12]). Es sei A ∈ C p×p und B ∈ C r×r . Sind λund µ Eigenwerte von A bzw. B mit zugehörigen Eigenvektoren x und y, dann ist λµEigenwert von A ⊗ B mit Eigenvektor x ⊗ y. Jeder Eigenwert von A ⊗ B lässt sich alsein solches Produkt schreiben.3.6.2 Die Bedeutung von α = 1 2Die Anzahl der Eigenwerte und damit die Laufzeit der Verfahren hängt entscheidenddavon ab, wie der Wert α gewählt wird. Für α = 1 2ist die Anzahl der EigenwerteBeobachtungen zufolge im Allgemeinen geringer als für alle anderen Werte. Währenddies in den nächsten Abschnitten für bestimmte Graphen näher betrachtet wird, sollhier zunächst eine allgemeine Erklärung gegeben werden.Die zu den Teilgraphen G i = (V, E i ) gehörenden Matrizen M i haben die Gestalt⎛⎞1 − α αα 1 − α ... M i = P1 − α αα 1 − αP T ,⎜⎟⎝⎠1 ...1mit N i = |E i | Blöcken ( )1−α αα 1−α , wobei P irgendeine Permutation ist. Setzt man α =)1, so dass M i damit N i -mal den Eigenwert 0 hat.(2 , wird aus diesen Blöcken 12121212Insgesamt haben M DE und M SDE also den Eigenwert 0 mindestens mit VielfachheitN max := max i=1,...,c N i . Die Gesamtzahl der Eigenwerte ist demzufolge m ≤ n−N max +1.52