Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.6 Eigenwerte gefärbter Graphenwerden und die übrigen für die Kanten in Richtung von G (2) . Für die Matrizen M DEund M SDE zu G folgt:M DE = M c · · · M c (1) +1 · M c (1) · · · M 1( ) ( ) (= M (2) ⊗ Ic (2) p · · · M (2)1 ⊗ I p · I q ⊗ M (1))=(M DE(2) ⊗ I p ·(I q ⊗ M DE(1))c (1) )= M DE(2) ⊗ M DE(1)(M SDE = M DE) TMDE=(M DE(2) ⊗ M DE(1)) T (M DE(2) ⊗ M DE(1))( (= M DE(2)) T⊗(M DE(1)) ) T (M DE(2) ⊗ M DE(1))( (= M DE(2)) ) (T (MDE (2) ⊗ M DE(1)) )TMDE (1)= M SDE(2) ⊗ M SDE(1)( )· · · I q ⊗ M (1)1Es müssen also zunächst die Eigenwerte der beiden Faktorgraphen bestimmt werden.Anschließend müssen alle möglichen Produkte je zweier Eigenwerte gebildet werden(Aufwand O (pq)). In der Regel treten hierbei einige Produkte mehrfach auf, und zwarauch dann, wenn man aus Symmetriegründen offensichtlich doppelte Produkte erst garnicht mit berechnet. Mehrfache Eigenwerte lassen sich zum Beispiel dadurch entfernen,dass man die Werte sortiert, diese sortierte Folge einmal durchläuft und dabei alle mehrfachenWerte streicht. Der Aufwand hierfür beträgt O (pq log(pq)). Selbst in den Fällen,in denen keine Formeln für die Eigenwerte des eindimensionalen Graphen bekannt sind,liegt der Gesamtaufwand so nur bei O ( p 3 + q 3) verglichen mit O ( (pq) 3) , würde mandie Eigenwerte von M (S)DE direkt ausrechnen.Der Graph G (i) habe nun m (i) verschiedene Eigenwerte. Dann ergibt sich für G eineAnzahli=1m ≤ m (1) m (2) .Ist G (1) = G (2) , so erhält man als maximale Anzahl verschiedener Produkte von m (1)Wertenm∑(1)m ≤ i = 1 ( )2 m(1) m (1) + 1 .Im Fall α = 1 2ist einer der Eigenwerte der Faktorgraphen 0, und damit sind auch alleProdukte mit diesem Eigenwert gleich 0. Die Zahl m reduziert sich hierdurch aufm ≤(m (1) − 1) (m (2) − 1)+ 1 = m (1) m (2) −(m (1) + m (2)) 61