these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

194 Annexe A: Analyse spectrale
leur transformée de Fourier est paire.
Les données issues de mesures ou de calculs CFD sont constituées d’une série de
valeurs, elles sont discrètes. Il est alors impossible d’utiliser la définition classique
de la transformée de Fourier destinée aux fonctions continues et il faut mettre en
œuvre la DFT. Si on considère une série de valeurs {(xj) , j = 0..(N − 1)} avec un
pas en temps ∆t, sa DFT est la série 1 {(Xj) , j = −N/2..N/2} définie par:
pour j = −N/2..N/2, Xj = 1
N.∆f
N−1 �
k=0
pas en fréquence: ∆f = 1
N.∆t
xk.e −2iπjk
N
fréquences associées: pour j = −N/2..N/2, fj = j.∆f
Propriétés de la DFT • Il faut tout d’abord remarquer que la DFT n’est qu’une
utilisation discrète de la transformée de Fourier définie par l’équation A.1. En effet,
selon les conventions précédentes:
N−1 �
pour j = −N/2..N/2, Xj = ∆t xk.e −2iπfjtk où tk = k.∆t
k=0
Ceci correspond exactement à la discrétisation de la formule A.1 de calcul de Trans-
formée de Fourier pour un signal causal, en évaluant l’intégrale par la méthode des
rectangles.
En conséquence on observe les mêmes propriétés au niveau de la DFT qu’au niveau
de la Transformée de Fourier continue.
• Comme montré dans le paragraphe ’Application: fonction sinus’ ci-après, l’intégrale
du spectre par DFT d’une fonction sinus est indépendante du choix de ∆f ou fmax.
Les représentations discrètes des distributions de Dirac conservent leur intégrale uni-
taire par augmentation de l’amplitude couplée à la diminution de la largeur. Dans le
cadre de nos applications, comme nous ne considérons que des échantillons de durée
finie, ils apparaîssent comme des fragments de fonctions périodiques. Toute fonction
périodique pouvant être décomposée en une somme de fonctions sinus, l’intégrale de
leur spectre sera donc indépendante de ∆f et de fmax sur la base de l’échantillon
1. Dans ce qui suit, la notation ”N/2” désigne l’entier le plus proche du réel N/2 par défaut.