these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

196 Annexe A: Analyse spectrale
Sa DFT est la série {(Xj) , j = −N/2..N/2} définie par:
X−P = −A
∆f.2i
XP = A
∆f.2i
Xj = 0 pour |j| �= P
Ainsi on obtient deux pics aux fréquences f−P = −1
2π et fP = 1
2π .
L’intégrale de la série sur les moitiés positives et négatives respectivement, égale
à l’intégrale du pic correspondant, et calculée par la méthode des triangles ou des
rectangles, vaut A
2
en module, quelle que soit la fréquence d’échantillonnage ∆f, le
nombre de points N et la durée du signal P .
Cette application permet également d’illustrer l’influence d’une irrégularité entre
la fin et le début de l’echantillon. Si on considère les échantillons suivants:
{xj = sin
{yj = sin
� j.8π
100
�
, j = 0..99}
� �
j.8π
, j = 0..85}
100
La figure A.1 présente les tracés temporels de x et y ainsi que leur spectres calculés
par DFT. Sur les tracés temporels ont été également tracés des duplications des
échantillons, translatées d’un temps d’échantillonnage (symboles: o). Ceci permet
d’évaluer l’irrégularité entre fin et début d’échantillon.
L’échantillon x aboutit à un spectre dont seules les fréquences ±1/2π ressortent. Il
n’y a pas de fréquences artificielles du fait qu’il n’y a pas d’irrégularité entre la fin et
le début de l’échantillon. Par contre le spectre associé à l’échantillon y s’éloigne très
fortement du spectre idéal de x. On observe des modifications de phases, dans ce cas
la partie réelle étant dominante alors qu’elle est nulle pour x. On observe également
un élargissement du pic en termes de module.
DFT et bruit large bande: fenêtrage, lissage. La méthode la plus fiable pour
l’étude du bruit large bande consiste à appliquer une DFT sur un échantillon tronqué
de manière à avoir une régularité entre les dernières valeurs et les premières. Ainsi
on minimise les fréquences artificielles qui seraient introduites par un irrégularité,
ou à moindre échelle par un fenêtrage. Il n’est donc pas adapté d’utiliser une FFT
car elle nécessite un nombre de points étant une puissance de 2, ce qui n’est pas di-
rectement accessible, le nombre de points étant aussi contrôlé par la recherche d’une
régularité aux extrémités du signal. Il faudrait introduire alors une interpolation,
coûteuse en temps et en précision. Toutefois, les calculs CFD ne produisent qu’une