these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

Méthodes numériques 55
ˆG(k) = 1 si|k| ≤ kc
0 sinon
L’extension au cas tridimensionnel de ces filtres se fait de manière évidente.
⋄ En général le filtre n’est pas idempotent (q �= q). Le filtre porte est le seul filtre
idempotent dans l’espace spectral parmi les trois filtres présentés. Toutefois l’hy-
pothèse sera faite ici que le filtre vérifie bien cette propriété, ce qui implique aussi:
q ′ = q − q = 0. Par ailleurs, nous négligerons les erreurs de commutation entre
l’opérateur de filtrage et les dérivées (temps et espace) [5].
Le fluide considéré étant supposé compressible, on introduit ici également la
décomposition de Favre, comme proposé par Erlebacher et al. [33]. On a alors: � �q = �q
et �q ′ = 0.
On obtient les équations filtrées suivantes (équations de conservation de la masse
et de la quantité de mouvement):
∂ρ
∂t
+ ∂(ρ �ui)
∂xi
∂(ρ �ui)
∂t + ∂(ρ �ui �uj)
+
∂xj
∂p
∂xi
= 0
= ∂τij
∂xj
+ ∂Πij
∂xj
où Π est le tenseur de sous-maille (dit de Reynolds [33]):
Πij = −ρuiuj + ρ �ui �uj = −ρ( �uiuj − �ui �uj)
Par ailleurs on dispose de l’équation sur l’énergie interne:
∂ρe
∂t
et le filtrage aboutit à:
∂ρ�e
∂t
+ ∂(ρeui)
∂xi
+ ∂(ρ�e �ui)
∂xi
= −p ∂uj
∂xj
= −p ∂uj
∂xj
∂ui
+ τij
∂xj
∂ui
+ τij
∂xj
− ∂qi
∂xi
− ∂qi
∂xi
+ ∂Ξi
∂xi
où Ξ est le flux de chaleur de sous-maille (dit de Reynolds [33]):
Ξi = −ρeui + ρ�e �ui = −ρCv
L’équation d’état filtrée donne: p = ρr � T .
� �T ui − � T �ui
�