these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

54 Méthodes numériques
2.2.3 Approche LES
Equations générales
Les équations de base de la LES sont obtenues par filtrage en espace des équations
de Navier-Stokes. On obtient ainsi un système d’équations portant sur les variables
filtrées, c’est à dire sur les grandes échelles, et l’influence des petites échelles apparaît
sous la forme d’un terme inconnu à modéliser.
De manière théorique, un filtre s’applique dans l’espace physique sous la forme
d’un produit de convolution par un noyau noté G∆ (∆: longeur de coupure du filtre).
Ainsi, l’expression filtrée q(�x) d’une fonction q sera:
�
q(�x) =
(Ω)
où (Ω) désigne l’ensemble du milieu fluide.
G∆(�x − � ξ)q( � ξ)d � ξ
On peut citer en monodimensionnel les filtres suivant (G dans l’espace physique
et ˆ G dans l’espace de Fourier):
- Le filtre boîte (filtre rectangle dans l’espace physique):
- Le filtre gaussien:
G(x − ξ) = 1/∆ si |x − ξ| ≤ ∆/2
0 sinon
ˆG(k) = sin(k∆/2)
k∆/2
�
α
G(x − ξ) =
π∆ 2
�1/2 � 2 −α|x − ξ|
exp
∆ 2
�
�
ˆG(k)
−∆
= exp
2 k2 �
4α
où α est une constante, généralement prise égale à 6.
- Le filtre porte (filtre passe-bas pur dans l’espace spectral):
G(x − ξ) = sin(kc(x − ξ))
, avec kc = π/∆
kc(x − ξ)