these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

Méthodes numériques 67
2.3 Calcul de la propagation acoustique en champ
lointain
2.3.1 L’analogie acoustique
L’approche de Lighthill
En 1952, Lighthill [70] a proposé d’écrire les équations de Navier-Stokes sous la
forme d’une équation d’onde gouvernant les fluctuations acoustiques. Ceci a permis,
moyennant certaines hypothèses qui seront décrites plus tard, de réaliser l’estimation
des sources acoustiques dans un écoulement turbulent, le problème de propagation
étant par ailleurs bien maîtrisé.
T ij
U = 0
0
region
source
propagation
Fig. 2.8 – Analogie acoustique de Lighthill.
On se place donc dans le cadre d’un milieu au repos 5 (ou en translation uniforme
par changement de référentiel) et on étudie le son transmis à un auditeur depuis une
région source englobant les fluctuations aérodynamiques. Si on prend la dérivée
temporelle de l’équation de continuité (2.1), on soustrait la divergence de l’équation
de quantité de mouvement (2.2), puis on soustrait a 2 0 ∂2 ρ/∂x 2 j
obtient:
∂ 2 ρ
∂ 2 ρ
∂t2 − a20 ∂x2 j
= ∂2 �
ρuiuj + (p − a
∂xi∂xj
2 0ρ)δij �
− τij
x
de part et d’autre, on
(2.18)
5. Dans la description de l’analogie acoustique, l’indice (0) est associé aux grandeurs du milieu
au repos, alors que le symbole prime ( ′ ) au grandeurs fluctuantes.