these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

70 Méthodes numériques
2.3.2 Implantation numérique
di Francescantonio [29] et Brentner et Farassat [10] ont repris l’équation de
Ffowcs Williams & Hawkings en supprimant la condition d’imperméabilité de la
surface.
Tij
n
U = 0
0
V s
Pij
Vs i
propagation
Fig. 2.10 – Formulation de l’équation de Ffowcs Williams & Hawkings par di Francescantonio,
utilisant une surface arbitraire et perméable à l’écoulement.
Ainsi, en utilisant une surface englobant les solides et une partie de l’air, et en
remplaçant l’intérieur par de l’air au repos, on obtient pour l’équation de Ffowcs
Williams & Hawkings:
∂2ρ ′
∂t2 − a2 ∂
0
2ρ ′
∂x2 j
(1)
� �� �
∂
=
2
(2)
(3)
� �� � � �� �
∂
∂
{Tij H(f)} − {Li δ(f)} + {Q δ(f)} (2.22)
∂xi∂xj
∂xi
∂t
où: Li = Pijnj + ρui(uj − VSj)nj, Q = ρ0{(1 − ρ/ρ0)VSi + ρui/ρ0}ni
Dans ce cas, les termes surfaciques 2 et 3 prenent également en compte les qua-
drupôles inclus dans le domaine intérieur à la surface perméable choisie. Le terme
volumique 1 ne représente plus que les quadrupôles extérieurs à la surface.
La surface choisie peut être en mouvement relatif par rapport au solide. Par
exemple, pour le calcul du bruit d’un rotor, on pourra utiliser une surface fixe en-
globant la totalité du rotor. D’un autre côté on vérifie que si on utilise la surface
x