these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

68 Méthodes numériques
On définit alors le tenseur de Lighthill:
Tij = ρuiuj + (p − a 2 0 ρ)δij − τij
(2.19)
Une équation équivalente peut être obtenue pour la pression, en soustrayant
1/a 2 0 . ∂2 p/∂t 2 au lieu de a 2 0 ∂2 ρ/∂x 2 j :
∂ 2 p
∂x 2 j
− 1
a 2 0
∂2p −∂2
= (ρuiuj − τij) −
∂t2 ∂xi∂xj
1
a2 0
∂2 ∂t2 �
2
p − a0ρ �
(2.20)
L’équation (2.18) (ou (2.20)) ressemble à une équation d’onde où le tenseur de
Lighthill serait le terme source, ce dernier disparaissant en champ lointain. Toutefois,
il faut remarquer que ce terme source contient les fluctuations acoustiques, l’équation
ne présente donc que peu d’intérêt sous cette forme. Néanmoins, si on peut supposer
que le nombre de Reynolds est élevé (afin de négliger le terme visqueux), le nombre
de Mach turbulent modéré (afin de négliger les effets de compressibilité dans le terme
source), les phénomènes entropiques limités (afin de négliger le second terme), et si
les fluctuations acoustiques sont bien négligeables devant la turbulence, le tenseur
de Lighthill peut être réduit à:
Tij = ρ0uiuj
pour lequel sont utilisées seulement les fluctuations turbulentes.
Ce sont les hypothèses de Lighthill qui font de l’équation obtenue une construction
pertinente. On peut ensuite utiliser l’analogie pour évaluer les sources puis propager
les ondes acoustiques en champ lointain à l’aide d’une fonction de Green.
L’application de l’analogie de Lighthill au bruit de jet, jusqu’en régime superso-
nique, explique son succès. Des corrections ont été conçues ultérieurement afin de
prendre en compte la réfraction par l’écoulement moyen par exemple.
L’équation de Ffowcs Williams & Hawkings
En 1969, Ffowcs Williams & Hawkings [37] ont proposé de prendre en compte
les surfaces solides en remplacant leur volume par du fluide au repos.
La surface du solide est représentée par l’équation f(�x,t) = 0, avec f(�x,t) > 0
à l’extérieur. Si �n est la normale à la paroi et � VS la vitesse de la surface au point
considéré, la condition d’imperméabilité peut être exprimée par: �u.�n = � VS.�n.
Les équations de masse et de quantité de mouvement s’écrivent: