these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

Méthodes numériques 71
solide (ui.ni = VSi.ni sur la surface), on retrouve bien l’expression (2.21) obtenue
par Ffowcs Williams & Hawkings.
Cette formulation permet d’appliquer la physique issue de l’équation de Ffowcs
Williams & Hawkings (prise en compte explicite des sources, pas de calcul de gra-
dient normal à la surface) à une surface d’intégration indépendante de la surface
solide. Elle permet en outre de prendre en compte d’éventuelles sources volumiques
par les termes calculés sur une surface englobant ces sources. Ceci tend donc à se
rapprocher de l’équation de Kirchhoff, qui propage en champ lointain une onde es-
timée depuis une surface initiale quelquonque, laquelle doit se situer en dehors de la
région perturbée de l’écoulement.
L’équation 2.22 peut ensuite être mise sous forme intégrale par convolution
avec une fonction de Green. On note: �x et t la position et le temps de l’auditeur
(réception), �y et τ la position et le temps d’intégration des sources (émission). Le
vecteur radial est alors: �r = �x − �y, et les composantes du vecteur radial unitaire:
ˆri = ri/r = (xi − yi)/r. On peut ainsi obtenir une expression de ρ ′ (�x,t) avec la
fonction de Green valable en champ libre G = δ(g)/r où g = t − τ − r/a0, et le
changement de variable:
�
Q(τ)δ(g(τ)) =
la somme étant prise sur tous les zéros τ n ret
N�
n=1
Q
|∂g/∂τ| (τ n ret )
de l’équation au temps retardé: g = 0. Si
on considère que Mr = Miˆri < 1 au niveau des sources, comme ce sera toujours le
cas dans la présente étude, l’équation au temps retardé ne possède qu’une solution
τ = t − ||�x − �y(τ)||/a0 et on a:
4πa 2 0ρ ′ = ∂2
∂xi∂xj
�
f>0
�
Tij
r(1 − Mr)
�
+ ∂
� � �
Q
∂t f=0 r(1 − Mr)
ret
dS
ret
dV − ∂
∂xi
�
f=0
�
Li
r(1 − Mr)
�
où le symbole [.]ret signifie que les grandeurs sont évaluées à: τ = t − r/a0.
En champ lointain on peut ensuite écrire: a 2 0 ρ′ = p ′ .
ret
dS
(2.23)
La solution est ici obtenue pour un milieu extérieur libre au repos. Dans le cas plus
général (écoulement uniforme, écoulement extérieur non homogène, présence de pa-
rois...), une solution de Green adaptée doit être utilisée à moins de justifier que les