these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

Annexe B: POD 201
Annexe B
Décomposition Orthogonale aux
Valeurs Propres (POD)
Présentation
La turbulence possède une place particulière dans l’histoire scientifique du XX eme
siecle, ayant donné lieu à la naissance du concept d’attracteur étrange par Ruelle
et Takens [93] en 1971. Le système de trois modes construit par Lorenz en 1963
—projection de Fourier-Galerkin pour la convection de Rayleigh-Bénard en deux
dimensions— présente pour un certain choix de paramètres une sensibilité aux condi-
tions initiales, à la base de la notion de chaos. La POD apparaît alors comme
une décomposition faisant ressortir les principales caractéristiques des signaux chao-
tiques.
On considère un champ aléatoire u(x) de moyenne nulle, avec x appartenant à
l’espace borné D et chaque réalisation de ce champ appartenant à un espace de
Hilbert H (produit scalaire: (f|g) et norme: ||f||| = (f|f) 1/2 , où f, g ∈ H).
La Décomposition Orthogonal aux Valeurs Propres (POD) constiste à rechercher les
fonctions φi constituant la base de H la plus proche du signal u. Autrement dit:
Φ =
�
| < (u|φ) > |
φ ∈ H / maxφ
(φ|φ) 1/2
�
Ce problème d’Euler-Lagrange de maximisation sous contrainte correspond à une
équation intégrale de Fredholm du premier ordre:
�
D
< u(x)u(x ′ ) > φi(x ′ )dx ′ = λiφi(x)
avec < u(x)u(x ′ ) >= R(x,x ′ ) l’autocorrélation spatiale.