these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

Annexe A: Analyse spectrale 195
d’origine. Ceci est intéressant pour les calculs de densité spectrale de puissance, car
l’intégrale correspond alors à la puissance acoustique, et il est alors cohérent d’obte-
nir un résultat indépendant de l’échantillonnage. Pour le calcul de cohérences, cela
n’a pas d’importance du fait de la division de l’inter-spectre par les auto-spectres.
• On observe que le pas en fréquence de la transformée est ∆f = 1
N.∆t
fréquence maximale résolue est: fmax = 1
2∆t
relation de Nyquist.
et que la
. Ceci est souvent connu sous le nom de
• Comme expliqué au second point, la DFT permet de représenter le spectre
correspondant à un signal discret, sans variation de l’intégrale lorsqu’on duplique
l’échantillon de base. Ainsi il est nécessaire de minimiser les discontinuités entre la
fin et le début de l’échantillon afin de réduire l’apparition de fréquences parasites qui
se manifestent aux jointures de l’échantillon infini équivalent (obtenu par répétition).
Il existe toutefois une technique pour corriger une irrégularité entre la fin et
le début de l’échantillon: le fenêtrage. Elle consiste, avant la DFT, à multiplier
l’échantillon par une fonction valant 1 sur la quasi totalité du signal mais tendant
de maniére régulière vers 0 aux extrémités (ex: fenêtrage de Hanning). Ainsi la
fonction produit ne possède qu’une irrégularité limitée. Néanmoins, dans le spectre
obtenu se retrouve le spectre de la fonction utilisée, agissant sous la forme d’un pro-
duit de convolution.
• Il existe un algorithme optimisé de la DFT appellé Transformée de Fourier
Rapide (FFT), qui permet de réduire notablement le nombre d’opération: N 2 →
N.log2(N) pour un échantillon de taille N. Par contre il est nécessaire que N soit
une puissance de 2.
Application: fonction sinus
On considère l’échantillon {xj = A.sin � j.P.2π
N
entier. Les instants associés sont: {tj = j.P.2π
N
� , j = 0..(N − 1)} avec A réel et P
, j = 0..(N − 1)} ce qui donne un pas
en temps ∆t = P.2π
N .
Nous disposons ainsi de la discrétisation en N points de la fonction t → A.sin(t)
sur P périodes.