these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

Méthodes numériques 45
⋄ Le terme non-linéaire de l’équation d’énergie peut s’écrire:
(ρet + p)u ′ i = ργCv � T u ′ i +
3�
ρu ′ iu′ j �uj + ρ � ku ′ i
j=1
ce qui peut se modéliser de la manière suivante:
(ρet + p)u ′ i
= −γCvµt
P rt
� ∂T
∂xi
−
3�
τtij �uj − µt
�∂k j=1
⋄ Le terme τijui peut être modélisé par: τij �ui + µ ∂e k
∂xj .
Le systéme d’équations complet est donc:
∂(ρ�et)
∂t
avec:
∂(ρ �ui)
∂t
∂ρ
∂t
+ ∂(ρ �ui)
∂xi
σk
∂xi
= 0 (2.4)
∂ �
+ ρ �ui �uj + pδij − (τij + τtij
∂xj
)� = 0 (2.5)
�
� � �
∂
µ µt ∂�e
+ (ρ�et + p) �ui − γ +
∂xi
P r P rt ∂xi
∂(ρ�ω)
∂t
∂(ρ � k)
∂t
+(τij + τtij ) �uj +
�
µ + µt
σk
� ��
∂�k = 0 (2.6)
∂xi
�
∂
+ ρ
∂xi
� �
k �ui − µ + µt
� �
∂�k =
σk ∂xi
� Pk − Ckρ�ω �k (2.7)
� �
∂
+ ρ�ω �ui − µ +
∂xi
µt
� �
∂�ω
σω ∂xi
�et = Cv � T + 1
2 �uk 2 + � k
�
�∂ui
τij = µ +
∂xj
� ∂uj
−
∂xi
2
3 δij
�
�∂uk
∂xk
�
p = ρ(γ − 1) �et − 1
�
�ui
2
2 + � �
k
�
�ω
= Cω1
�Pk − Cω2ρ�ω
�k 2
(2.8)