these approches numeriques pour la simulation du bruit a large ...

42 Méthodes numériques
On obtient ainsi un système de cinq équations à cinq inconnues: ρ, ρu1, ρu2, ρu3 et ρet.
Remarque: si on note Sij = 1
�
∂ui
2 ∂xj
�
∂uj
+ ∂xi
le tenseur des taux de déformations,
et σij = Sij − 1
3 δijSkk son déviateur, le tenseur des contraintes visqueuses se réduit
à: τij = 2µσij.
Turbulence
Il est alors nécessaire de considérer avec soin la représentation de la turbulence.
Elle nécessite un compromis entre la quantité de calculs nécessaires, vite rédibitoire
lorsque le nombre de Reynolds augmente, et des hypothèses de modélisation. Cette
partie de la simulation est en outre rendue sensible par l’influence que la turbulence
a sur l’écoulement et sur l’acoustique. Les trois principales approches sont présentées
ici:
• La résolution des équations moyennées (RANS)
Dans le cadre de cette approche, les équations sont soumises à une moyenne d’en-
semble (moyenne de Reynolds). Ceci permet d’obtenir les équations régissant les
grandeurs moyennes, où la contribution de la turbulence se limite aux corrélations
doubles de vitesse turbulente (tenseur de Reynolds). Ce tenseur doit alors être
modélisé, ce qui se fait en construisant une analogie avec le tenseur des contraintes
visqueuses (hypothèse de Boussinesq): le tenseur de Reynolds est reconstruit à par-
tir des gradients de vitesse moyenne et d’une viscosité turbulente. De nombreux
modèles ont ainsi été construits, proposant diverses constructions pour le tenseur de
Reynolds et pour le calcul de la viscosité turbulente. Les plus célébres font interve-
nir des équations de transport pour deux grandeurs turbulentes: l’énergie turbulente
(k), et le taux de dissipation (ɛ) ou une quantité équivalente (ω) définie dans [115].
L’approche RANS permet donc le calcul des configurations les plus complexes, seul
le champ moyen étant résolu. En contrepartie, la turbulence n’est connue que sous
la forme de grandeurs moyennes issues du modèle (énergie et dissipation pour un
modèle type k − ɛ ou k − ω). En outre, la représentation de toute la turbulence par
une dissipation variable est une hypothèse très forte vis-à-vis de la dynamique de
l’écoulement.
• La simulation des grandes échelles (LES)
Dans ce cas, les plus grandes échelles de la turbulences sont simulées, alors que les
plus petites sont modélisées. L’idée sous-jacente est que les petites échelles ont es-