Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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94 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI con il vertice a sinistra che rappresenta η e quello a destra che rappresenta α ( α < η ). Concludiamo il paragrafo con un esempio pratico di come dal digramma di Dynkin si possa risalire alla matrice di Cartan e con un importante risultato di cui non riportiamo la dimostrazione (si veda [4] a pagina 122). Prendiamo il seguente digramma di Dynkin : Per quanto riguarda la prima riga abbiamo : • (α1, α1) = 2 • (α1, α2) = −1 • (α1, α3) = 0 • (α1, α4) = 0 e in modo analogo ricaviamo gli interi della quarta riga • (α4, α1) = 0 • (α4, α2) = 0 • (α4, α3) = −1 • (α4, α4) = 2 Dato che il diagramma di Dynkin ci dice che la norma di α2 è maggiore di quella di α3 la seconda riga ha le entrate : • (α2, α1) = −1 • (α2, α2) = 2 • (α2, α3) = −2 • (α2, α4) = 0 ed infine la terza
4.10. COMPONENTI IRRIDUCIBILI 95 • (α3, α1) = 0 • (α3, α2) = −1 • (α3, α3) = 2 • (α3, α4) = −1 La matrice di Cartan risultante è quindi : ⎛ 2 ⎜ −1 ⎜ ⎝ 0 −1 2 −1 0 −2 2 ⎞ 0 ⎟ 0 ⎟ −1 ⎟ ⎠ 0 0 −1 2 Proposizione 4.9.1. Siano Φ e Φ ′ due sistemi di radici negli spazi euclidei, rispettivamente, E ed E ′ . Se questi due sistemi di radici sono isomorfi allora hanno lo stesso diagramma di Dynkin e viceversa. 4.10 Componenti irriducibili Abbiamo detto che un sistema di radici Φ, nello spazio euclideo E, si dice irriducibile se non può essere partizionato in due sottoinsiemi non vuoiti di Φ, aventi intersezione nulla e mutuamente ortogonali (ogni vettore di un sottoinsieme è ortogonale a tutti i vettori dell’altro insieme). Inoltre, data una base ∆ di Φ, essa è irriducibile (definizione analoga a quella vista per Φ) se e solo se Φ è irriducibile. Diremo che il grafico di Coxeter di un sistema di radici è connesso se ogni suo vertice è connesso (perlomeno con un filo) ad almeno un altro vertice e se non ci sono sottoinsiemi di vertici che non hanno nessuna connessione con quelli restanti. La stessa definizione possiamo darla per i diagrammi di Dynkin, ed è ovvio che un grafico di Coxeter di un sistema di radici Φ è connesso se e solo se lo è il diagramma di Dynkin di Φ. Facendo uso della topologia, possiamo vedere i vertici di un grafico di Coxeter (diagramma di Dynkin) come punti di R 2 e i fili che li uniscono come rette : il grafico è connesso se l’insieme dei vertici è connesso per archi. Vogliamo dimostrare che una base ∆ del sistema di radici Φ nello spazio euclideo E è irriducibile se e solo se il diagramma di Dynkin di Φ è connesso. Partiamo con supporre ∆ irriducibile. Se, per assurdo, esistesse un vertice α non connesso a nessun altro allora (α, β) = 2 < α, β > / < β, β > sarebbe nullo per ogni altra radice semplice β e quindi avremmo < α, β > = 0. Dunque potremmo decomporre ∆ in due insiemi : in uno mettiamo solo α e nell’altro le radici semplici rimanenti. Questi due sottoinsiemi sono non vuoti, con intersezione nulla e mutuamente ortogonali. Ma questo contraddice l’irriducibilità di ∆. Allo stesso modo, supponiamo
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
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ii INTRODUZIONE le algebre di Lie r
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iv INDICE 4.8 La matrice di Cartan
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2 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA L
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20 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE Inolt
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24 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE f : L
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28 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE
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30 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMIS
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Page 106 and 107: 100 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFI
Page 128: 122 BIBLIOGRAFIA
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