Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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36 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMISEMPLICI un endomorfismo di gl(V ) a partire dalla determinazione di come agisce su una base). Allora y, rispetto alla base B, é rappresentato dalla matrice diagonale diag(f(a1), ..., f(an)). Denotiamo con eij gli elementi della base standard di gl(V ) associata alla base B di V , con i, j ∈ {1, 2, ..., n}. Dato che y ed s sono entrambe diagonalizzate da B, si ha : ad s(eij) = (ai − aj)eij ad y(eij) = (f(ai) − f(aj))eij Consideriamo ora il polinomio r(T ) ∈ F [T ], privo di termine noto e tale che r(ai − aj) = f(ai) − f(aj) per ogni coppia di i, j. L’esistenza di un tale polinomio é garantita dall’interpolazione di Lagrange. Potrebbe peró esserci qualche ambiguitá nell’assegnazione dei valori : vorremmo che se ai−aj = ak −al al polinomio sia richiesto di sostituire lo stesso valore, cioé f(ai) − f(aj) = f(ak) − f(al). Infatti, dato che f é un’applicazione lineare, abbiamo che : f(ai − aj) = f(ak − al) ⇔ f(ai) − f(aj) = f(ak) − f(al) (3.26) Se calcoliamo r(ad s) otteniamo un endomorfismo di gl(V ) che coincide con ad y. Affinché i due endomorfismi siano uguali é necessario e sufficiente che agiscano allo stesso modo sui vettori di base : ad y(eij) = (f(ai) − f(aj))eij (r(ad s))(eij) = (f(ai) − f(aj))eij in quanto nella seconda relazione si é sfruttato il fatto che (ad s) k (eij) = (ai − aj) k eij, che r é privo di termine noto e quindi ogni addendo é multiplo di eij e, raccogliendo quest’ultimo, rimane r(ai − aj) = f(ai) − f(aj). La decomposizione di Jordan di ad x é ad x = ad s + ad n ed inoltre, per il punto b della Proposizione 1.2.6, ad s puó essere scritto come p(ad x), con p polinomio di F [T ] e privo di termine noto. Per ipotesi abbiamo [x, B] ⊂ A, dunque ad x manda B in A. Di conseguenza ad y manda B in A, ossia y ∈ M. Abbiamo infatti detto che ad y = r(p(ad x)) e quindi, dato b ∈ B abbiamo che (ad x) k (b) = (ad x) k− ((ad x)(b). Ma ad x(b) appartiene ad A ⊆ B, perció, iterando il ragionamento concludiamo che (ad x)((ad x) k−1 (b) appartiene ad A. Dunque ad y(b) é una combinazione lineare a coefficienti in F di elementi di A, quindi ancora un elemento di A. Allora, sempre per ipotesi, abbiamo tr(x ◦ y) = 0. Ma rispetto alla base B, x e y hanno matrici associate: x = diag(a1, ..., an) y = diag(f(a1), ..., f(an)) per cui la traccia di x ◦ y é la traccia del prodotto di queste due matrici : xy = diag(a1f(a1), ..., anf(an))
3.3. IL CRITERIO DI CARTAN 37 tr(x ◦ y) = tr(xy) = n f(ai)ai Il termine a destra dell’ultima relazione é una combinazione lineare, con coefficienti in Q, degli autovalori : esso é un elemento di E. Applicandogli f abbiamo : f( n f(ai)ai) = i=1 i=1 n f(ai)f(ai) = i=1 n f(ai) 2 = 0 Dato che gli f(ai) sono appartengono a Q, segue f(a1) = f(a2) = ... = f(an) = 0. Infatti possiamo considerare la somma di questi quadrati in Q, che é isomorfo a Q e dunque n i=1 f(ai) 2 = 0 anche in Q. Ragionando sui numeri reali é banale dedurre che gli f(ai) ∈ Q sono nulli e dunque otteniamo la relazione detta anche per gli elementi di Q (sfruttiamo il fatto che nella bigezione fra Q e Q a 0Q rimanga associato 0Q). Quindi f associa 0 a tutti gli elementi della base e, ovviamente, é identicamente nulla. Avendo scelto una forma lineare f ∈ E ∗ arbitraria il teorema risulta dimostrato. Sfruttando il Lemma appena dimostrato risulta semplice la verifica del Criterio di Cartan. Premet- tiamo all’enunciato di quest’ultimo due risultati di cui ci serviremo nel corso della dimostrazione. La prima osservazione che facciamo é la seguente : se L é un’algebra di Lie con [L, L] nilpotente, allora L é risolubile. Abbiamo visto che un’algebra di Lie nilpotente é anche risolubile, dunque [L, L] é risolubile. Inoltre L/[L, L], come giá verificato in precedenza, é abeliana. Per il punto b della proposizione relativa alle algebre di Lie risolubili abbiamo che L é risolubile. Ricordiamo inoltre che il teorema di Engel ci dice che [L, L] é nilpotente se e solo se ogni ad [L,L]x, con x ∈ [L, L], é un endomorfismo nilpotente. Il secondo risultato riguarda invece gli endomorfismi e la loro traccai. Se V é un F -spazio vettoriale di dimensione finita e f, g, h tre suoi endomorfismi abbiamo : da cui consegue : i=1 [f, g] ◦ h = (f ◦ g − g ◦ f) ◦ h = f ◦ g ◦ h − g ◦ f ◦ h (3.27) f ◦ [g, h] = f ◦ (g ◦ h − h ◦ g) = f ◦ g ◦ h − f ◦ h ◦ g (3.28) tr([f, g] ◦ h) = tr(f ◦ g ◦ h) − tr(g ◦ f ◦ h) (3.29) tr(f ◦ [g, h]) = tr(f ◦ g ◦ h) − tr((f ◦ h) ◦ g) = tr(f ◦ g ◦ h) − tr(g ◦ (f ◦ h)) = tr([f, g] ◦ h) (3.30) Quindi abbiamo ottenuto tr(f ◦ [g, h]) = tr([f, g] ◦ h)
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