Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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102 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE ⎛ ⎞ 2 ⎜ 0 ⎜ −1 ⎜ E7 = ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 0 2 0 −1 0 0 −1 0 2 −1 0 0 0 −1 −1 2 −1 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 −1 2 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ −1 ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 −1 2 ⎛ ⎞ 2 ⎜ 0 ⎜ −1 ⎜ 0 E8 = ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 0 2 0 −1 0 0 0 −1 0 2 −1 0 0 0 0 −1 −1 2 −1 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 −1 2 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ −1 ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 −1 2 ⎛ 2 ⎜ −1 F4 = ⎜ ⎝ 0 −1 2 −1 0 −2 2 ⎞ 0 ⎟ 0 ⎟ −1 ⎟ ⎠ 0 0 −1 2 ⎛ ⎞ 2 −1 G2 = ⎝ ⎠ −3 2 Dimostrazione. Sia E uno spazio euclideo di dimensione p e U = {ɛ1, . . . , ɛn} un insieme di n vettori (n ≤ p) indipendenti e con norma unitaria. Supponiamo che < ɛi, ɛj > sia non positivo ogni volta che i è diverso da j ed inoltre si abbia 4 < ɛi, ɛj > 2 ∈ {0, 1, 2, 3}. Un sottoinsieme di uno spazio euclideo con le caratteristiche di U si dice ammissibile. Ad U associamo un grafico Γ : identifichiamo ogni elemento di U con un vertice e il vertice che rappresenta ɛi lo colleghiamo con quello che rappresenta ɛj con 4 < ɛi, ɛj > 2 fili. Dato che il grafico definito è dello stesso tipo dei grafici di Coxeter, possiamo
estendere a Γ la definizione di grafico connesso. Prendiamo un sistema di radici Φ ⊂ E e ne scegliamo una base ∆ = {α1, . . . , αp}. Dividiamo ogni radice semplice per la sua norma ottenendo un nuovo sottoinsieme ∆ ′ di E. Se α1, . . . , αp sono indipendenti, continuano ad esserlo se sostituiamo ognuno di essi con un multiplo non nullo, dunque ∆ ′ è un insieme di vettori indipendenti ed unitari. Il prodotto scalare fra due suoi elementi < αi αi , αj αj >= 103 1 αi · αj (< αi, αj >) ≤ 0 (5.1) è non positivo poichè il fattore a sinistra è positivo mentre quello a destra è non positivo per il lemma 4.5.1. Inoltre, se i = j e θ è l’angolo compreso fra αi e αj, abbiamo : 4 < αi αi , αj αj >2 1 = 4 αi 2 · αj 2 (< αi, αj > 2 ) = 4 αi 2 · αj 2 αi 2 · αj 2 (cos2 θ) = (αi, αj)(αj, αi) ossia 4 < αi αi αj , αj >2 appartiene a {0, 1, 2, 3}. Ciò significa che ∆ ′ è un sottoinsieme ammissibile di E ed inoltre il grafico Γ di ∆ ′ coincide col grafico di Coxeter di Φ. Vogliamo ora classificare tutti i possibili grafici Γ connessi e, lo sottolineiamo, questi grafici contengono tutti i possibili grafici di Coxeter. La classificazione dei grafici Γ ci dice come possono essere i grafici di Coxeter ma non tutti i grafici Γ (per ora!) sono grafici di Coxeter. Da questo momento procediamo per passi, con l’ipotesi che il grafico Γ sia connesso. (1) Se da U togliamo alcuni vettori, i rimanenti formano ancora un un sottoinsieme ammissibile (viene conservata l’indipendenza ed ovviamente anche le due condizioni sui prodotti scalari). Il grafico Γ di quanto rimane si ottiene eliminando i vertici dei vettori che sono stati scartati, compresi i fili da essi uscenti. (2) Dimostriamo che il numero di coppie di vertici fra loro connessi da almeno un filo nel grafico Γ, è inferiore ad n. Consideriamo il vettore : ɛ = n i=1 Dato che i vettori ɛi sono linearmente indipendenti è ovvio che ɛ è non nullo (tutti i coefficienti della combinazione lineare sono uguali ad 1). Essendo il prodotto scalare definito positivo abbiamo che < ɛ, ɛ > è positivo : < ɛ, ɛ >=< n ɛi, i=1 n j=1 ɛj >= n i,j=1 < ɛi, ɛj >= ɛi (5.2) n < ɛk, ɛk > + 2 < ɛi, ɛj >= n + 2 < ɛi, ɛj > k=1 La scomposizione della sommatoria è dovuta al fatto che, se per < ɛi, ɛj > si ha i = j, allora o i è minore di j oppure viceversa. Se i < j l’addendo è compreso nella seconda sommatoria, se i > j allora < ɛi, ɛj >=< ɛj, ɛi > e quindi ci basta moltiplicare ogni addendo per 2. i
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
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ii INTRODUZIONE le algebre di Lie r
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iv INDICE 4.8 La matrice di Cartan
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Page 128: 122 BIBLIOGRAFIA
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