Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

86 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
la base ∆(σ(γ)).
4.6 Il gruppo di Weyl
Cominciamo questo paragrafo con due importanti risultati sul comportamento delle radici semplici.
A tale scopo, fissiamo un base ∆ di un sistema di radici Φ nello spazio euclideo E.
Lemma 4.6.1. Se α è una radice semplice allora σα permuta le radici positive diverse da α
Dimostrazione. Una radice semplice è banalmente positiva. Sia β una radice positiva diversa da α,
dunque abbiamo :
β =
kγγ (4.80)
γ∈∆
con i coefficienti kγ interi non negativi. Ovviamente β non può essere un multiplo di α : non è uguale
ad α e neanche a −α, dato che quest’ultima è una radice negativa. Dunque esiste almeno una radice
semplice γ, diversa da α, per la quale kγ è non nullo. Ora consideriamo :
σα(β) = β − (β, α)α (4.81)
che restituisce una radice avente come coordianata rispetto a γ ancora kγ (la radice che otteniamo,
rispetto a β, modifica solo la componente rispetto ad α). Avendo una componente positiva, per la
condizione B2, deduciamo che σα(β) è una radice positiva ed inoltre è diversa da α (σα è una bigezione
e solo −α viene mandata in α). Proprio perchè σα è una bigezione è ovvio che
σα(Φ + \ {α}) = Φ + \ {α}
Corollario 4.6.2. Per ogni radice semplice α abbiamo che
δ = 1
2
ha come immagine rispetto a σα il vettore δ − α
β (4.82)
Dimostrazione. Fra le radici postive abbiamo anche α. Per il lemma precedente, σα permuta le radici
positive diverse da α e dunque, sfruttando la linearità ed il fatto che in δ tutte le radici positive hanno
lo stesso coefficiente, ricaviamo :
σα(δ) = σα((
β≻0,β=α
1
2
1
β) + α) = (
2
β≻0,β=α
1
2
β≻0
1
β) − α = (
2
β≻0,β=α
1
2
1 1
β) + α − α =
2 2
β − α = δ − α
β≻0