Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

66 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
4.3 Esempi di sistemi di radici
Vediamo ora alcuni esempi di sistemi di radici in spazi euclidei di dimensione 1 oppure 2.
Partiamo col considerare uno spazio euclideo E di dimensione 1. Dato un suo vettore non nullo α il
sottoinsieme Φ = {α, −α} è un sistema di radici in E. Le condizioni R1, R2 sono banalmente verificate
; L’unica riflessione di E associata alle radici di Φ è σα per la quale si ha :
σα(α) = −α ; σα(−α) = −(−α) = α (4.34)
e dunque Φ viene lasciato invariato ; la condizione R4 è verificata in quanto
< α, −α >
< α, −α >
2 = −2 ∈ Z ; 2 = −2 ∈ Z (4.35)
< α, α > < −α, −α >
Viceversa, sia Φ un generico sistema di radici di E. Esso contiene almeno un vettore non nullo α e,
per la R2, anche −α. Ma in Φ non possono esserci altri vettori : α è una base di E e quindi ogni altra
radice β deve essere del tipo aα con a numero reale perciò, per la R2, segue β = ±α.
Un tale sistema di radici lo denotiamo con il simbolo A1. Se in E fissiamo una base, possiamo rapp-
resentare E mediante una retta orientata e dunque A1 può essere così graficato :
Dato che l’inversa di una simmetria è essa stessa, risulta ovvio che il gruppo di Weyl di A1 contiene
solamente l’identità e σα, dunque W ha ordine 2.
Passiamo ora ad uno spazio euclideo di dimensione 2. Per semplificare i calcoli e la visualizzazione
fissiamo una base ortonormale in E che ci consente di identificare E con R 2 , considerando R 2 con il
prodotto scalare canonico (intendiamo che E ed R 2 sono isometrici).
Denotiamo con l un fissato reale positivo.
Come primo caso consideriamo l’insieme
avente la seguente rappresentazione grafica :
A1 × A1 = {α = (l, 0), β = (0, l), −α, −β} (4.36)