Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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108 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE il punto 4, ad ɛ1, ɛ2 e ad uno dei vertici “intermedi” delle catene semplici)e dunque abbiamo concluso. Se invece i vertici sono più di 5 deve comunque esistere un quinto vertice ɛ5 connesso ad uno dei primi 4. Se è connesso con doppio filo lo sarà con l’ultimo vertice delle catene semplici e anche in questo caso abbiamo concluso. Se invece è legato con un solo filo allora deve ugualmente essere necessariamente con l’ultimo vertice di una delle catene : non può essere legato ad ɛ1 ed ɛ2, ma neanche ad uno dei vertici intermedi delle catene semplici altrimenti si crea un nodo e ricadiamo nel sottografico vietato dal punto 7. Iterando il ragionamento, dato che i vertici di Γ sono finiti, dobbiamo necessariamente arrivare, con una delle due catene semplici, alla seconda coppia unita da due fili (ad essere precisi arriviamo ad uno dei vertici della coppia a cui poi l’altro vertice si lega con due fili). Abbiamo dimostrato quanto volevamo, ma il sottografico che deve contenere Γ è vietato dal passo 7 dunque Γ ammette al massimo una coppia di vertici legati da 2 fili. Se Γ ha una coppia di vertici legati da 2 fili non può avere un nodo. Come prima, supponiamo che Γ contenga un nodo e partiamo dalla coppia di vertici, ɛ1 e ɛ2, legati da 2 fili. Uno di essi (supponiamo ɛ2) deve esere legato con un filo ad un terzo vertice ɛ3 dato che Γ è connesso e contiene perlomeno 5 vertici per l’ipotesi fatta. Se ɛ3 è uno dei vertici del nodo abbiamo concluso. Altrimenti procediamo prendendo un quarto vertice ɛ4 a cui i primi tre vertici sono collegati (deve succedere altrimenti Γ non sarebbe connesso). Esso può essere legato con un filo a ɛ1 o ɛ3. Se ɛ4 è uno dei vertici del nodo ci fermiamo altrimenti andiamo avanti osservando che alla fine di questo passaggio possiamo avere due catene semplici (una con primo vertice ɛ1 e l’altra con primo vertice ɛ2) oppure una catena semplice (con primo vertice in ɛ1 oppure in ɛ2). Sempre per la connessione di Γ deve esistere un quinto vertice ɛ5 connesso ad uno dei primi 4. Esso è legato con un solo filo con l’ultimo vertice di una delle catene semplici : non può essere legato ad ɛ1 ed ɛ2, ma neanche ad uno dei vertici intermedi delle catene semplici altrimenti si crea un nodo, situazione vietata dal passo 7. Iterando il ragionamento, dato che i vertici di Γ sono finiti, con una delle due catene semplici arriviamo ad uno dei vertici del nodo. Ricadiamo allora nel sottografico :
che è ancora vietato dal passo 7. Allora possiamo dire che se Γ contiene due vertici legati da due fili esso non può che essere della tipologia (ii) (il ragionamento che si fa è identico ai due precedenti, soltanto che non si incontrano mai nodi ne coppie di vertici legati da due fili, quindi ad ogni passo un vertice si collega all’ultimo vertice di una delle catene semplici che partono da ɛ1 o da ɛ2, la coppia di vertici legati da due fili). Se invece Γ ha che i vertici sono legati fra loro con solo un filo e non ci sono nodi, Γ non può che essere della forma (i) (sempre lo stesso modo di ragionare, questa volta partendo da un vertice). Infine vediamo cosa capita se Γ contiene un nodo. Siano ɛ1, ɛ2, ɛ3 e ɛ4 i punti del nodo. Prendiamo un quinto vertice ɛ5 connesso ad uno dei vertici del nodo. Esso deve necessariamente essere connesso con un filo ad un fra ɛ1,ɛ3 e ɛ4 (da ɛ2 partono già tre fili). Un sesto vertice collegato ad uno dei primi cinque sarà legato con un filo o a ɛ5 o ad uno dei due vertici fra ɛ1,ɛ3 e ɛ4 al quale non abbiamo legato ɛ5. In questo modo, ad ogni passo, aggiungiamo un vertice legato con un filo all’ultimo vertice delle catene semplici che partono da ɛ1,ɛ3 e ɛ4. Quindi in questo caso il grafico di Γ è della forma (ii). (9) Se il grafico connesso Γ è del tipo (ii) allora è il grafico di Coxeter F4 o il grafico di Coxeter Bp = Cp. Dato che siamo in uno spazio euclideo, quindi uno spazio vettoriale reale, ha senso considerare le conmbinazioni lineari ɛ = r iɛi ; η = aventi come coefficienti dei numeri interi. Per ipotesi abbiamo : i=1 q jηj 4(< ɛi, ɛi+1 >) 2 = 1 ⇒ 2(< ɛi, ɛi+i >) = −1 con i = 1, 2, . . . , r − 1 (5.7) 4(< ηj, ηj+1 >) 2 = 1 ⇒ 2(< ηj, ηj+i >) = −1 con j = 1, 2, . . . , q − 1 (5.8) j=1 4(< ɛr, ηq >) 2 = 2 ⇒ (< ɛr, ηq >) 2 = 1 2 mentre tutte le altre coppie di vertici sono ortogonali (in quanto non connesse da nessun filo). Ne consegue : < ɛ, ɛ >=< r iɛi, i=1 r kɛk >= k=1 r ik < ɛi, ɛk >= i,k=1 r (i) 2 r−1 < ɛi, ɛi > +2 i(i + 1) < ɛi, ɛi+1 > i i=1 109 (5.6) (5.9) (5.10) con 2 fattore moltiplicativo dell’ultima sommatoria in quanto consideriamo i casi j = i + 1 e i = j + 1 che sono uguali per la simmetria del prodotto scalare. La norma al quadrato di ɛ allora diventa : r (i) 2 r−1 − i(i+1) = i i=1 r (i) 2 r−1 − (i 2 +i) = r 2 r−1 − i = r 2 r(r − 1) − = 2 2r2 − r2 + r 2 i i=1 i = r2 + r 2 = r r + 1 2
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
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ii INTRODUZIONE le algebre di Lie r
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iv INDICE 4.8 La matrice di Cartan
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2 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA L
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10 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA
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18 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE (L2),
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20 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE Inolt
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22 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE Defin
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24 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE f : L
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26 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE massi
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28 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE
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30 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMIS
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Page 128: 122 BIBLIOGRAFIA
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