Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

76 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
Tabella 4.5:
(α, β) (β, α) θ ( β / α ) 2
0 0
1 1
-1 -1
1 2
-1 -2
1 3
-1 -3
π
2
π
3
2π
3
π
4
3π
4
π
6
5π
6
indeterminato
Proposizione 4.4.1. Siano α e β due radici non proporzionali di un sistema di radici Φ in uno
spazio euclideo E. Se < α, β > è strettamente positivo (l’angolo fra le due radici è compreso fra 0 e
π
2 , entrambi esclusi) allora α − β è una radice; simmetricamente, se < α, β > è strettamente negativo
(l’angolo fra le due radici è compreso fra π
2 e π, entrambi esclusi) allora α + β è una radice.
Dimostrazione. Partiamo dal caso < α, β > > 0 osservando che < α, β > è strettamente positivo se
e solo se lo sono anche (α, β) e (β, α) (in quanto è proprio il prodotto scalare fra le due radici a
determinare il segno di queste due quantità). La consultazione della tabella sopra riportata ci dice che
nei casi in cui (α, β) e (β, α) sono entrambi strettamente positivi, almeno uno fra i due è uguale ad 1.
Se (α, β) = 1 allora :
e quindi, per la condizione R3, α − β è una radice.
Allo stesso modo, se (β, α) = 1 abbiamo :
1
1
2
2
3
3
σβ(α) = α − (α, β)β = α − β (4.63)
σα(β) = β − (β, α)α = β − α (4.64)
per cui β − α ∈ Φ. Ne deduciamo σβ−α(β − α) = α − β e quindi anche α − β ∈ Φ è una radice.
Se < α, β > è strettamente negativo allora < α, −β > = − < α, β > è strettamente positivo.
Applicando quanto visto sopra otteniamo che α − (−β) = α + β è una radice.
Consideriamo due radici α, β di un sistema di radici Φ nello spazio euclideo E. Supponiamo che
esse non siano proporzionali e prendiamo tutte le radici della forma β + kα, con k numero intero.
Chiamiamo α-stringa attraverso β l’insieme di queste radici.
Siano q ed r i più grandi interi non negativi per i quali β + qα e β − rα, rispettivamente, sono radici
di Φ. Ovviamente questi due interi possono anche essere nulli ed inoltre la loro esistenza è assicurata
dal fatto che le radici sono in numero finito. Ipotizziamo che per un certo i ∈ (−r, q) il vettore β + iα