Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

3.3. IL CRITERIO DI CARTAN 37
tr(x ◦ y) = tr(xy) =
n
f(ai)ai
Il termine a destra dell’ultima relazione é una combinazione lineare, con coefficienti in Q, degli
autovalori : esso é un elemento di E. Applicandogli f abbiamo :
f(
n
f(ai)ai) =
i=1
i=1
n
f(ai)f(ai) =
i=1
n
f(ai) 2 = 0
Dato che gli f(ai) sono appartengono a Q, segue f(a1) = f(a2) = ... = f(an) = 0. Infatti possiamo
considerare la somma di questi quadrati in Q, che é isomorfo a Q e dunque n
i=1 f(ai) 2 = 0 anche
in Q. Ragionando sui numeri reali é banale dedurre che gli f(ai) ∈ Q sono nulli e dunque otteniamo
la relazione detta anche per gli elementi di Q (sfruttiamo il fatto che nella bigezione fra Q e Q a 0Q
rimanga associato 0Q).
Quindi f associa 0 a tutti gli elementi della base e, ovviamente, é identicamente nulla. Avendo scelto
una forma lineare f ∈ E ∗ arbitraria il teorema risulta dimostrato.
Sfruttando il Lemma appena dimostrato risulta semplice la verifica del Criterio di Cartan. Premet-
tiamo all’enunciato di quest’ultimo due risultati di cui ci serviremo nel corso della dimostrazione. La
prima osservazione che facciamo é la seguente : se L é un’algebra di Lie con [L, L] nilpotente, allora
L é risolubile.
Abbiamo visto che un’algebra di Lie nilpotente é anche risolubile, dunque [L, L] é risolubile. Inoltre
L/[L, L], come giá verificato in precedenza, é abeliana. Per il punto b della proposizione relativa alle
algebre di Lie risolubili abbiamo che L é risolubile.
Ricordiamo inoltre che il teorema di Engel ci dice che [L, L] é nilpotente se e solo se ogni ad [L,L]x, con
x ∈ [L, L], é un endomorfismo nilpotente.
Il secondo risultato riguarda invece gli endomorfismi e la loro traccai.
Se V é un F -spazio vettoriale di dimensione finita e f, g, h tre suoi endomorfismi abbiamo :
da cui consegue :
i=1
[f, g] ◦ h = (f ◦ g − g ◦ f) ◦ h = f ◦ g ◦ h − g ◦ f ◦ h (3.27)
f ◦ [g, h] = f ◦ (g ◦ h − h ◦ g) = f ◦ g ◦ h − f ◦ h ◦ g (3.28)
tr([f, g] ◦ h) = tr(f ◦ g ◦ h) − tr(g ◦ f ◦ h) (3.29)
tr(f ◦ [g, h]) = tr(f ◦ g ◦ h) − tr((f ◦ h) ◦ g) = tr(f ◦ g ◦ h) − tr(g ◦ (f ◦ h)) = tr([f, g] ◦ h) (3.30)
Quindi abbiamo ottenuto tr(f ◦ [g, h]) = tr([f, g] ◦ h)