Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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54 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMISEMPLICI Proposizione 3.6.9. Siano α e β due radici di L relative ad H, con β = ±α. Allora : • (i) β(hα) ∈ Z ; • (ii) esistono due interi non negativi, r e q, tali che β + kα appartiene a Φ se e solo se k é un intero contenuto in [−r, q]. Inoltre r − q = β(hα) ; • (iii) se α + β appartiene a Φ allora [eα, eβ] é un multiplo non nullo di eα+β ; • (iv) β − β(hα)α é una radice di L relativa a d H. Lemma 3.6.10. Se h é un vettore non nullo di H, allora esiste una radice α ∈ Φ tale che α(h) = 0. Inoltre Φ genera H ∗ . Lemma 3.6.11. Per ogni radice α ∈ Φ si ha : • i) tα = hα k(eα,fα) ; • ii) hα = 2tα k(tα,tα) ; • iii) k(tα, tα)k(hα, hα) = 4 . Corollario 3.6.12. Se α e β sono due radici di Φ, allora k(hα, hβ) é un intero mentre k(tα, tβ) é un razionale. Mediante la forma di Killing possiamo definire una forma bilineare su H∗, che denotiamo col simbolo (, ), simmetrica e non degenere. Date le forme lineari θ, ϕ ∈ H ∗ poniamo : (θ, ϕ) = k(tθ, tϕ) (3.75) Dall’ultimo corollario segue che se α e β sono radici di Φ abbiamo che (α, β) = k(tα, tβ) é un razionale. Inoltre non é difficile dimostrare che se α e β sono due radici di Φ , anche β − 2(β,α) (α,α) α lo é. Nel lemma 3.6.10 abbiamo visto che Φ genera H∗ , dunque H∗ ammette una base {α1, . . . , αn} costituita da radici. Lemma 3.6.13. Se β é una radice di Φ, allora essa ha componenti, rispetto alla base {α1, . . . , αn}, tutte razionali. Grazie all’ultimo lemma possiamo considerare l’R-sottospazio vettoriale di H, che denotiamo con E, generato da {α1, . . . , αn} : esso contiene tutte le radici di Φ.
3.6. SOTTOALGEBRE TOROIDALI E DECOMPOSIZIONE DI CARTAN 55 Proposizione 3.6.14. La forma (, ) definisce un prodotto scalare sull’ R-spazio vettoriale E. Concludiamo il paragrafo riassumendo i risultati ottenuti. Una volta fissata la sottoalgebra toroidale massimale H ⊂ L, ad L rimane associato Φ. Quest’ultimo é un sottoinsieme di un R-spazio vettoriale E, il quale é dotato di un prodotto scalare. Inoltre Φ non contiene il vettore nullo ed é un sistema di generatori di E. Se α é una radice di Φ, allora gli unici multipli di Φ conenuti in Φ sono ±α. Se α e β sono due radici di Φ allora 2 (α,β) (β,β) é un intero e α − 2 (α,β) (β,β) β é una radice di Φ. Grazie a queste proprietá Φ costituisce un sistema di radici in E. Per convincerci di questo bisogna peró pazientare ancora qualche pagina.
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
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ii INTRODUZIONE le algebre di Lie r
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iv INDICE 4.8 La matrice di Cartan
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2 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA L
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