Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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10 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE • aA = B = (bij) = (a · aij) se i > j allora a · aij = a · 0 = 0 = bij • A + B = C = (cij) = (aij + bij) se i > j allora cij = aij + bij = 0 + 0 = 0 • AB = C = (cij) = ( n k=1 aikbkj) dunque i fattori a sinistra sono non nulli solo quando i ≤ k mentre quelli a destra sono diversi da 0 solo per k ≤ j. Ma se i > j allora {k ≥ i} ∩ {k ≤ j} = 0. Infine consideriamo il sottoinsieme η(n, F ) ⊂ gl(n, F ) costituito dalle matrici strettamente triangolari superiori, ossia le matrici A ∈ gl(n, F ) della forma : A = (aij) con aij = 0 se i ≥ j (1.31) Anche in questo caso abbiamo la chiusura rispetto al prodotto per scalare, la somma ed il prodotto matriciale. Infatti, se A, B, C sono matrici strettamente triangolari superiori e a uno scalare di F , abbiamo : • aA = B = (bij) = (a aij) se i ≥ j allora bij = a · aij = a · 0 = 0 • A + B = C = (cij) = (aij + bij) se i ≥ j allora cij = aij + bij = 0 + 0 = 0 • AB = C = (cij) = ( n k=1 aikbkj) solo quando k > i i fattori a sinistra non sono nulli, solo per k < j i fattori a destra non sono nulli. Se i ≥ j allora {k > i} ∩ {k < j} = 0 Avendo giá mostrato una base di gl(n, F ), vorremmo trovare una base per ognuno dei 3 sottospazi vettoriali di gl(n, F ) introdotti. Una base di t(n, F ) é: B1 = {eij | i ≤ j} (1.32) Le matrici che costituiscono quest’insieme sono sicuramente triangolari superiori perché hanno termini nulli per i > j. Esse sono indipendenti (perché sottoinsiemi di un insieme linearmente indipendente) e generano t(n, F ) : A = (akl) = aij eij con i ≤ j (1.33) Calcoliamo la dimensione di t(n, F ) sommando il numero di vettori di B1 :
1.3. MATRICI 11 • j=1 ⇒ i=1 1 + • j=2 ⇒ i=1,2 2 + • j=3 ⇒ i=1,2,3 3 + • ... ... • j=n ⇒ i=1,2,...,n n n(n+1) 2 Come base di η(n, F ) possiamo prendere : B2 = {eij | i < j} (1.34) Tale insieme é costituito da matrici triangolari superiori dato che esse hanno entrate nulle nulle quando l’indice di riga é maggiore dell’ indice di colonna. Inoltre queste matrici sono linearmente indipendenti (appartengono alla base canonica di gl(n, F )) e generano η(n, F ) : Per la dimensione procediamo come nel caso precedente : • j=1 ⇒ / 0 + • j=2 ⇒ i=1 1 + • j=3 ⇒ i=1,2 2 + • ... ... • j=n ⇒ i=1,2,...,n-1 n-1 Infine mostriamo una base di d(n, F ) : A = (akl) = aij eij con i < j (1.35) n(n−1) 2 B3 = {eii | i = 1, ..., n} (1.36) Le matrici di B3 sono diagonali (se l’indice di colonna é diverso da quello di riga l’entrata é nulla), sono linearmente indipendenti e generano d(n, F ) :
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122 BIBLIOGRAFIA
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