Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

70 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
poi σγ
• σβ(γ) = γ − (γ, β)β = γ − β = (0, l) − (l, l) = (−l, 0) = −α
• σβ(δ) = δ − (δ, β)β = δ
• σγ(α) = α − (α, γ)γ = α
• σγ(β) = β − (β, γ)γ = β − 2γ = (l, l) − 2(0, l) = (l, −l) = −δ
• σγ(δ) = δ − (δ, γ)γ = δ − 2γ = (−l, l) − 2(0, l) = (−l, −l) = −β
ed infine
• σδ(α) = α − (α, δ)δ = α + δ = (l, 0) + (−l, l) = (0, l) = γ
• σδ(β) = β − (β, δ)δ = β
• σδ(γ) = γ − (γ, δ)δ = γ − δ = (0, l) − (−l, l) = (l, 0) = α
dunque tutte mandano B2 in sè e la condizione R3 risulta così verificata.
Come ultimo insieme consideriamo :
G2 = {α = (l, 0), β = ( 3
2 l,
√
3 l
l), γ = (
2 2 ,
√
3
2 l), δ = (0, √ 3l), ɛ = (− l
2 ,
√
3
l), η = (−3
2 2 l,
√
3
l)} ∪
2
che possiamo così graficare
∪ {−α, −β, γ, −δ, −ɛ, −η}
Anche questo insieme è finito (12 vettori), non contiene il vettore nullo, α e δ sono indipendenti in
quanto ortogonali. Quindi la condizione R1 è rispettata, come anche la R2.
Per la R3 consideriamo la tabella di riassunto :