Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

54 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMISEMPLICI
Proposizione 3.6.9. Siano α e β due radici di L relative ad H, con β = ±α. Allora :
• (i) β(hα) ∈ Z ;
• (ii) esistono due interi non negativi, r e q, tali che β + kα appartiene a Φ se e solo se k é un
intero contenuto in [−r, q]. Inoltre r − q = β(hα) ;
• (iii) se α + β appartiene a Φ allora [eα, eβ] é un multiplo non nullo di eα+β ;
• (iv) β − β(hα)α é una radice di L relativa a d H.
Lemma 3.6.10. Se h é un vettore non nullo di H, allora esiste una radice α ∈ Φ tale che α(h) = 0.
Inoltre Φ genera H ∗ .
Lemma 3.6.11. Per ogni radice α ∈ Φ si ha :
• i) tα = hα
k(eα,fα) ;
• ii) hα = 2tα
k(tα,tα) ;
• iii) k(tα, tα)k(hα, hα) = 4 .
Corollario 3.6.12. Se α e β sono due radici di Φ, allora k(hα, hβ) é un intero mentre k(tα, tβ) é un
razionale.
Mediante la forma di Killing possiamo definire una forma bilineare su H∗, che denotiamo col
simbolo (, ), simmetrica e non degenere. Date le forme lineari θ, ϕ ∈ H ∗ poniamo :
(θ, ϕ) = k(tθ, tϕ) (3.75)
Dall’ultimo corollario segue che se α e β sono radici di Φ abbiamo che (α, β) = k(tα, tβ) é un razionale.
Inoltre non é difficile dimostrare che se α e β sono due radici di Φ , anche β − 2(β,α)
(α,α) α lo é.
Nel lemma 3.6.10 abbiamo visto che Φ genera H∗ , dunque H∗ ammette una base {α1, . . . , αn} costituita
da radici.
Lemma 3.6.13. Se β é una radice di Φ, allora essa ha componenti, rispetto alla base {α1, . . . , αn},
tutte razionali.
Grazie all’ultimo lemma possiamo considerare l’R-sottospazio vettoriale di H, che denotiamo con
E, generato da {α1, . . . , αn} : esso contiene tutte le radici di Φ.