Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

58 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
con v1, w1 ∈ W e v2, w2 ∈ W ⊥ . Applicando la riflessione σ a v e w otteniamo :
σ(v) = σ(v1 + v2) = σ(v1) + σ(v2) = v1 − v2
σ(w) = σ(w1 + w2) = σ(w1) + σ(w2) = w1 − w2
Calcolando i prodotti scalari possiamo osservare che essi sono conservati da σ :
< v, w > = < v1 + v2, w1 + w2 > =< v1, w1 > + < v1, w2 > + < v2, w1 > + < v2, w2 > = (4.5)
= < v1, w1 > + < v2, w2 >
< σ(v), σ(w) > = < v1 − v2, w1 − w2 > = < v1, w1 > − < v1, w2 > − < v2, w1 > + < v2, w2 > = (4.6)
Che σ abbia come inversa se stessa segue da :
σα(σα(β)) = σα(β −
2 < β, α >
< α, α >
= < v1, w1 > + < v2, w2 >=< v, w >
α) = β −2< β, α >
< α, α >
α−2< β, α >
< α, α >
(4.3)
(4.4)
α, β >< α, α >
α+4< α = β (4.7)
< α, α >< α, α >
A partire da un vettore non nullo α di uno spazio euclideo E, di dimensione finita, è possibile
costruire una riflessione in E. Consideriamo l’applicazione :
σα : E → E
β ↦→ β − 2
α
Essa è un automorfismo di E. Dato che il dominio coincide con il codominio è sufficiente mostrare che
l’applicazione è lineare e iniettiva.
σα(aβ) = aβ−
< β, α > = <
σα(β + γ) = β + γ −
β −
2 < aβ, α >
< α, α >
2 < β + γ, α >
< α, α >
2[< β, α > + < γ, α >]
α = β + γ − α = (4.8)
< α, α >
2 < β, α > 2 < γ, α >
α + γ −
< α, α > < α, α > α = σα(β) + σα(γ) ∀β, γ ∈ E
< β, α >
< β, α >
α = aβ−2a α = a(β−2
< α, α > < α, α > α) = a(σα(β)) ∀a ∈ F, β, ∈ E
(4.9)
σα(β) = 0 ⇒ β −
2 < β, α >
< α, α >
2 < β, α >
α = 0 ⇒ β = α ⇒ (4.10)
< α, α >
2 < β, α >
< α, α > α, α > ⇒ < β, α > = 2 < β, α > ⇒ < β, α >= 0 ⇒ σα(β) = β = 0
L’insieme costituito da tutti i vettori di E ortogonali ad α, ossia
Pα = {β ∈ E |< β, α >= 0} (4.11)