Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

Capitolo 2
Algebre di Lie
2.1 Prime definizioni
Sia L uno spazio vettoriale su un campo F . Diremo che L è un’ algebra di Lie su F se in L è definita
un’operazione binaria
che soddisfa le seguenti condizioni:
ϕ : L × L → L
(x, y) ↦→ ϕ(x, y)
• L1) ϕ è bilineare, ossia ϕ(ax + by, z) = aϕ(x, z) + bϕ(y, z) e ϕ(x, ay + bz) = aϕ(x, y) + bϕ(x, z)
qualsiasi siano i vettori x, y, z di L e gli scalari a, b di F
• L2) ϕ(x, x) = 0 per ogni vettore x di L
• L3) ϕ(x, ϕ(y, z)) + ϕ(y, ϕ(z, x)) + ϕ(z, ϕ(x, y)) = 0 per ogni terna di vettori x, y, z di L
Chiamiamo ϕ commutatore, la denotiamo col simbolo [, ] e, di conseguenza, indichiamo con [x, y]
l’immagine di un generico elemento del suo dominio ; la condizione (L3) prende il nome di identità di
Jacobi.
A meno di indicazioni contrarie, nel corso del nostro lavoro considereremo sempre algebre di Lie
aventi dimensione finita in qualità di spazi vettoriali.
Dalle condizioni (L1) e (L2) segue che il commutatore è antisimmetrico. Infatti, presi due vettori
x, y ∈ L, per la (L2) si ha [x+y, x+y] = 0 e dalla bilinearità del commutatore segue 0 = [x+y, x+y] =
[x, x + y] + [y, x + y] = [x, x] + [x, y] + [y, x] + [y, y]. Riapplicando (L2) otteniamo 0 = [x, x] + [x, y] +
[y, x] + [y, y] = [x, y] + [y, x] ossia [x, y] = −[y, x].
Denotiamo con (L2)’ questa condizione di antisimmetria.
Viceversa, se l’operazione binaria ϕ soddisfa (L2)’ allora non è difficile mostrare che verifica anche
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