Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione
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Abbiamo visto nel passo 5 che il grafico (ii) è l’unico grafico Γ connesso avente un vertice da cui<br />
partono 3 fili.<br />
Un grafico Γ connesso che contiene più <strong>di</strong> una coppia <strong>di</strong> vertici legati da 2 fili contiene un sottografico<br />
della forma<br />
Per <strong>di</strong>mostrare questa affermazione, partiamo da una coppia <strong>di</strong> vertici, ɛ1 e ɛ2, legati da 2 fili. Uno<br />
<strong>di</strong> essi (supponiamo ɛ2) deve essere legato con un filo ad un terzo vertice ɛ3 dato che Γ è connesso e<br />
contiene perlomeno 4 vertici per l’ipotesi fatta. Pren<strong>di</strong>amo un quarto vertice ɛ4 a cui i primi tre vertici<br />
sono collegati (deve succedere altrimenti Γ non sarebbe connesso). Esso può essere legato con due fili a<br />
ɛ3, e quin<strong>di</strong> abbiamo concluso, oppure essere legato con un filo a ɛ1 o ɛ3. Alla fine <strong>di</strong> questo passaggio<br />
possiamo avere due catene semplici (una con primo vertice ɛ1 e l’altra con primo vertice ɛ2) oppure una<br />
catena semplice (con primo vertice in ɛ1 oppure in ɛ2). Se ci sono solo 5 vertici, il quinto deve essere<br />
legato con due fili all’ultimo vertice <strong>di</strong> una delle catene semplici (con due fili non può essere legato, per<br />
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