Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

8 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE
• A(B + C) = D = (dij) = ( n
k=1 aik(bkj + ckj)) = ( n
k=1 aikbkj + n
k=1 aikckj) = A B + A C
• (a A)B = D = (dij) = ( n
k=1 (a aik)bkj) = (a n
k=1 aikbkj) = a(A B)
• A(b B) = D = (dij) = ( n
k=1 aik(b bkj)) = (b n
k=1 aikbkj) = b(A B)
per ogni A, B, C ∈ gl(n, F ) e a, b ∈ F .
Definiamo infine la seguente applicazione :
[, ] : gl(n, F ) × gl(n, F ) → gl(n, F ) (1.18)
(A, B) → [A, B] = A B − B A (1.19)
Essa é bilineare dato che, per ogni A, B, C ∈ gl(n, F ) e a, b, c ∈ F , si ha :
[a A + b B, C] = (a A + b B)C − C(a A + b B) = a(A C) + b(B C) − a(C A) − b(C B) = (1.20)
= a(A C − C A) + b(B C − C B) = a[A, C] + b[B, C]
[A, b B + c C] = A(b B + c C) − (b B + c C)A = b(A B) + c(A C) − b(B A) − c(C A) = (1.21)
Inoltre vale la relazione
= b(A B − B A) + c(A C − C A) = b[A, B] + c[A, C]
[A, A] = A A − A A = 0 ∀A ∈ gl(n, F )
e quella che comunemente prende il nome di identitá di Jacobi
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = [A, B C − C B] + [B, C A − A C] + [C, A B − B A] = (1.22)
A(B C − C B) − (B C − C B)A + B(C A − A C) − (C A − A C)B + C(A B − B A) − (A B − B A)C =
A B C −A C B −B C A+C B A+B C A−B A C −C A B +A C B +C A B −C B A−A B C +B A C = 0
La base canonica di gl(n, F ) é:
B = {eij ∈ gl(n, F ) | i, j = 1, .., n} (1.23)
dove con eij denotiamo la matrice avente 1 nella riga i e colonna j e nulle tutte le altre entrate.
Che B generi gl(n, F ) e che sia un insieme di matrici linearmente indipendenti é ovvio : se A = (aij) é
una matrice di gl(n, F ) allora abbiamo n
i,j=1 aij eij mentre la combinazione lineare n
i,j=1 bij eij = 0