Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

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46 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMISEMPLICI Se V é un L-modulo di dimensione 1, esso ammette come unici sottospazi vettoriali quelli banali e quindi risulta irriducibile. Un L-modulo V si dice completamente riducibile se esso é la somma diretta di L-sottomoduli irriducibili. Abbiamo visto che ad ogni rappresentazione di L é possibile associare un L-modulo e dunque ha senso parlare, in modo naturale, di rappresentazioni irriducibili o completamente riducibili. Proposizione 3.5.1. Sia L un’algebra di Lie su un campo F e V un L-modulo. Esso é completamente riducibile se e solo se ogni L-sottomodulo W ⊂ V possiede un complemento, cioé un altro L-sottomodulo W ′ tale che V =W ⊕ W ′ . Lemma 3.5.2. Sia φ : L → gl(V ) una rappresentazione dell’algebra di Lie semisemplice L. Allora φ(L) ⊂ sl(V ) e l agisce in modo banale su ogni L-modulo di dimensione 1 Teorema 3.5.3. Sia φ : L → gl(V ) una rappresentazione, di dimensione finita, dell’algebra di Lie semisemplice L. Allora φ é completamente riducibile. Teorema 3.5.4. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita ed l un’algebra di Lie semiseplice contenuta in gl(V ). Allora L contiene la parte semisemplice e nilpotente di ogni suo elemento. In particolare, la decomposione di Jordan astratta coincide con quella usuale per tutti gli elementi di L. Corollario 3.5.5. Sia L un’algebra di Lie semisemplice e φ : L → gl(V ) una sua rappresentazione di dimensione finita. Se x = s + n é la decomposizione di Jordan astratta di un vettore x di L, allora φ(x) = φ(s) + φ(n) é la decomposizione di Jordan usuale di φ(x). 3.6 Sottoalgebre Toroidali e decomposizione di Cartan Da questo momento in poi con L denotiamo un algebra di Lie su un campo F , supponendo che L sia semisemplice ma non nulla e che F sia algebricamente chiuso. Cominciamo con l’osservare che se L consistesse unicamente di elementi nilpotenti (ossia ad-nilpotenti) allora, per il teorema di Engel, L dovrebbe essere nilpotente e dunque risolubile. Abbiamo peró giá visto che un’algebra di Lie risolubile non puó essere anche semisemplice, a meno che essa non sia nulla. Allora esistono in L degli elementi x la cui parte semisemplice xs, della decomposizione di Jordan astratta, é non nulla. Dunque gli xs sono elementi di L ad-semisemplici e non nulli. Ció mostra che L possiede delle sottoalgebre non nulle costituite da elementi semisemplici: le sottoalgebre unidimensionali generate dagli elementi semisemplici detti sopra. Chiamiamo toroidali le sottoalgebre non nulle di L i cui elementi sono tutti ad-semisemplici. Lemma 3.6.1. Una sottoalgebra toroidale di L é abeliana
3.6. SOTTOALGEBRE TOROIDALI E DECOMPOSIZIONE DI CARTAN 47 Dimostrazione. Sia T una sottoalgebra toroidale di L. Per mostrare che T é abeliana basta verificare che adT x = 0 per ogni x ∈ T (in questo modo [x, y] = 0 per ogni coppia x, y di vettori di T ). Fissiamo allora un elemento x di T : per ipotesi ad x é diagonalizzabile (o, equivalentemente, semisemplice). Dato che T é una sottoalgebra di L si ha ad x(T ) ⊂ T e quindi anche la restrizione di ad x a T , che denotiamo con il simbolo adT x, é diagonalizzabile. Possiamo allora rappresentare adT x (rispetto ad una base di T costituita da autovettori di adT x) mediante una matrice diagonale con tutti gli autovalori nella diagonale principale. Dunque, se dimostriamo che adT x non ha autovalori non nulli, potremmo dedurre adT x = 0 (poiché se un endomorfismo é rappresentato dalla matrice nulla esso é l’endomorfismo nullo). Supponiamo, per assurdo, che adT x ammetta un autovalore non nullo, ossia esista un vettore non nullo y ∈ T tale che adT x(y) = [x, y] = ay ; adT y(x) = [y, x] = −[x, y] = −ay (3.50) con a = 0. Come adT x, anche adT y é diagonalizzabile ed ha y come autovettore. Allora possiamo completare y con una base di T costituita da autovettori di adT y, ottenendo {y, t1, . . . , tm−1}. Scrivendo x rispetto a tale base deduciamo che : x = cy + µ1t1 + · · · + µm−1tm−1 (3.51) adT y(x) = −ay = µ1adT y(t1) + · · · + µm−1adT y(tm−1) (3.52) Dato che −ay é un vettore non nullo non tutti i vettori dell’ultima combinazione lineare scritta possono essere uguali a 0. Dunque abbiamo ottenuto che un vettore di base si scrive come combinazione lineare dei restanti vettori di base. Siamo giunti ad un assurdo che prova che adT x ammette solo autovalori nulli. Una sottoalgebra toroidale si dice massimale se non é propriamente contenuta in nessun’altra sottoalgebra toroidale. Come visto sopra, ogni algebra di Lie semisemplice ammette sottoalgebre toroidali e, dato che stiamo considerando algebre di Lie di dimensione finita, esiste sempre almeno una sottoalgebra toroidale massimale. Fissiamo una sottoalgebra toroidale massimale H ⊂ L. Dato che H é abeliana, allora adL H é una famiglia di endomorfismi di L, diagonalizzabili e commu- tanti. Che siano diagonalizzabili segue dalla definizione di sottoalgebra toroidale mentre che, per ogni coppia di elementi x, y di H, ad x e ad y commutano segue dall’abelianitá di H : ad([x, y]) = ad(0) = 0 = [ad x, ad y] (3.53)
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