Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

72 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
• σγ(β) = β − (β, γ)γ = β − 3γ = ( 3
2l, √
3 l
2 l) − 3( 2 ,
√
3
2 l) = (0, −√3l) = −δ
• σγ(δ) = δ − (δ, γ)γ = δ − 3γ = (0, √ 3l) − 3( l
2 ,
√ √
3 3 3
2 l) = (− 2l, − 2 l) = −β
per σδ
per σɛ
• σγ(ɛ) = ɛ − (ɛ, γ)γ = ɛ − γ = (− l
2 ,
√
3 l
2 l) − ( 2 ,
√
3
2 l) = (−l, 0) = −α
• σγ(η) = η − (η, γ)γ = η
• σδ(α) = α − (α, δ)δ = α
• σδ(β) = β − (β, δ)δ = β − δ = −η
• σδ(γ) = γ − (γ, δ)δ = γ − δ = ( l
2 ,
√
3
• σδ(ɛ) = ɛ − (ɛ, δ)δ = ɛ − δ = (− l
2 ,
√
3
• σδ(η) = η − (η, δ)δ = η − δ = (− 3
2l, √
3
• σɛ(α) = α − (α, ɛ)ɛ = α + ɛ = γ
• σɛ(β) = β − (β, ɛ)ɛ = β
• σɛ(γ) = γ − (γ, ɛ)ɛ = γ − ɛ = α
2 l) − (0, √ 3l) = ( l
2
2 l) − (0, √ 3l) = (− l
2
2 l) − (0, √ 3l) = (− 3
2
√
3
, − 2 l) = −ɛ
√
3
, − 2 l) = −γ
√
3
l, − 2 l) = −β
• σɛ(δ) = δ − (δ, ɛ)ɛ = δ − 3ɛ = (0, √ 3l) − 3(− l
2 ,
√ √
3 3 3
2 l) = ( 2l, − 2 l) = −η
• σɛ(η) = η − (η, ɛ)ɛ = η − 3ɛ = (− 3
2l, √
3
l
2 l) − 3(− 2 ,
√
3
2 l) = (0, −√3l) = −δ
ed infine per ση
• ση(α) = α − (α, η)η = α + η = (l, 0) + (− 3
2l, √
3 l
2 l) = (− 2 ,
√
3
2 l) = ɛ
• ση(β) = β − (β, η)η = β + η = δ
• ση(γ) = γ − (γ, η)η = γ
• ση(δ) = δ − (δ, η)η = δ − η = β
• ση(ɛ) = ɛ − (ɛ, η)η = ɛ − η = (− l
2 ,
√
3 3
2 l) − (− 2l, √
3
2 l) = (l, 0) = α
che quindi ci consente di concludere che ogni riflessione considerata manda G2 in sè e perciò vale la R3.
Concludiamo questo paragrafo scegliendo, in ognuno degli ultimi quattro esempi, una base di E.
Per l’insieme A1 × A1 la base che consideriamo è {α, β} e quindi i restanti vettori −α, −β si scrivono