Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

More documents

Recommendations

Info

118 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE con i segni che possono essere scelti in modo indipendente. Allora Φ è un sistema di radici in E, avente come base ∆ = { 1 2 (ɛ1 + ɛ8 − (ɛ2 + · · · + ɛ7)), ɛ1 + ɛ2, ɛ2 − ɛ1, ɛ3 − ɛ2, ɛ4 − ɛ3, ɛ5 − ɛ4, ɛ6 − ɛ5, ɛ7 − ɛ6} (5.43) e come diagramma di Dynkin E8. Consideriamo il sottospazio vettoriale E ′ ⊂ E generato dai primi sette elementi di ∆ : chiamiamo ∆ ′ l’insieme di questi sette vettori e indichiamo con Φ ′ l’insieme delle radici di Φ contenute in E ′ . Con il prodotto scalare canonico indotto da E anche E ′ è uno spazio euclideo. Vogliamo mostrare che Φ ′ è un sistema di radici in E ′ e che ∆ ′ è una base di Φ ′ . Dato che Φ ′ è un sottoinsieme di Φ, esso è finito e non contiene il vettore nullo (in quanto Φ è finito e non ammette il vettore nullo). Inoltre i vettori di ∆ ′ ⊂ Φ ′ , per costruzione, generano E ′ . Quindi Φ ′ soddisfa la condizione R1. Se α ∈ Φ è un radice contenuta in E ′ , allora anche il suo opposto appartiene ad E ′ (dato che E ′ è un sottospazio vettoriale e quindi chiuso rispetto al prodotto per scalare) e nessun altro multiplo di α giace in E ′ (gli unici multipli di α in Φ sono ±α dunque non ne possiamo avere altri neanche in Φ ′ ⊂ Φ). Anche la condizione R2 risulta soddisfatta. Se α, β appartengono a Φ ′ allora esse sono radici di Φ ed inoltre (α, β) e (β, α) sono interi (queste quan- tità non cambiano se restringiamo l’attenzione ad E ′ in quanto il prodotto scalare che consideriamo in esso è semplicemente la restrizione del prodotto scalare canonico) : la condizione R4 è verificata. Rimane la condizione R3. Consideriamo sempre due vettori α, β ∈ Φ ′ e ricordiamo che σα(β) è uguale ad β − (β, α)α, la quale è una radice di Φ. Ci chiediamo se questa radice appartiene ad E ′ oppure no. La risposta è positiva in quanto sia β che −(β, α)α sono combinazione lineare dei vettori di ∆ ′ e dunque anche la loro somma lo è. Possiamo allora dedurre che Φ ′ è un sistema di radici di E ′ . Per costruzione, ∆ ′ è una base in E ′ . Prendiamo una radice α ∈ Φ ′ : essa si scrive come combinazione lineare dei vettori di ∆ ′ . Ma α è anche una radice di Φ ed essa si scrive come combinazione lineare dei vettori di ∆ con coefficienti interi tutti non positivi oppure non negativi. Evidentemente, quest’ultima combinazione lineare ha l’ultimo coefficiente nullo (in quanto ∆ ′ ⊂ ∆ e rispetto ad una base ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base) e quindi le componenti di α rispetto a ∆ ′ sono intere e tutte non positive oppure non negative. Dunque ∆ ′ è una base di Φ ′ ed il digramma di Dynkin di Φ ′ coincide con quello di Φ privato del vertice rappresentante l’ultimo vettore di ∆. Abbiamo infatti già osservato che le quantità (α, β) e (β, α) non cambiano se consideriamo α, β come radici semplici di ∆ ′ oppure di ∆. Il diagramma di Dynkin ottenuto è proprio il diagramma E7 per cui da un sistema di radici avente
come diagramma di Dynkin E8 abbiamo estratto un sistema di radici avente come diagramma di Dynkin E7. Applicando un analogo ragionamento, possiamo estrarre da Φ ′ un sistema di radici Φ ′′ avente come diagramma di Dynkin E6. (F4) In R 4 prendiamo l’insieme : Φ = {±ɛi | i = 1, 2, 3, 4} ∪ {±ɛi ± ɛj | i = j} ∪ { 1 2 (±ɛ1 ± ɛ2 ± ɛ3 ± ɛ4)} (5.44) dove i segni, negli ultimi due insiemi, possono esssere scelti in modo indipendente. Con i soliti calcoli (che evitiamo di riportare) si dimostra che Φ è un sistema di radici in R 4 , avente come base e come diagramma di Dynkin proprio F4. 119 ∆ = {ɛ2 − ɛ3, ɛ3 − ɛ4, ɛ4, 1 2 (ɛ1 − ɛ2 − ɛ3 − ɛ4)} (5.45)
Page 1:
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
Page 4 and 5:
ii INTRODUZIONE le algebre di Lie r
Page 6 and 7:
iv INDICE 4.8 La matrice di Cartan
Page 8 and 9:
2 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA L
Page 10 and 11:
Page 12 and 13:
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
10 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
Page 24 and 25:
18 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE (L2),
Page 26 and 27:
20 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE Inolt
Page 28 and 29:
22 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE Defin
Page 30 and 31:
24 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE f : L
Page 32 and 33:
26 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE massi
Page 34 and 35:
28 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE
Page 36 and 37:
30 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMIS
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
Page 48 and 49:
Page 50 and 51:
Page 52 and 53:
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
58 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI co
Page 66 and 67:
60 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI co
Page 68 and 69:
62 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI qu
Page 70 and 71:
64 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
Page 72 and 73:
66 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI 4.
Page 74 and 75: 68 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI L
Page 76 and 77: 70 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI po
Page 78 and 79: 72 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
Page 82 and 83: 76 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Ta
Page 86 and 87: 80 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI ap
Page 88 and 89: 82 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI in
Page 90 and 91: 84 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI ca
Page 92 and 93: 86 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI la
Page 94 and 95: 88 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Te
Page 96 and 97: 90 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Qu
Page 98 and 99: 92 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Pr
Page 100 and 101: 94 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI co
Page 102 and 103: 96 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI ch
Page 106 and 107: 100 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFI
Page 128: 122 BIBLIOGRAFIA
show all

Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?