Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

24 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE
f : L/ker(φ) → Im(φ)
[x] ↦→ φ(x)
Come sempre, come prima cosa dobbiamo verificare che f sia ben definita : se x, y ∈ L sono equivalenti
allora x − y ∈ ker(φ), quindi φ(x − y) = 0 = φ(x) − φ(y) ossia φ(x) = φ(y).
Inoltre f è un’applicazione lineare :
f(α[x]+β[y]) = f([αx+βy]) = φ(αx+βy) = αφ(x)+βφ(y) = αf([x])+βf([y]) ∀ x, y ∈ L; α, β ∈ F
ed è bigettiva. Per l’iniettività abbiamo :
f([x]) = 0 ⇒ φ(x) = 0 ⇔ x ∈ ker(φ) ⇔ [x] = ker(φ) (2.23)
mentre se y appartiene a Im(f) allora esso dovrà essere della forma φ(x) = y, con x ∈ L. Dunque
come controimmagine di y rispetto ad f abbiamo [x].
Ci rimane da dimostrare che φ preserva il commutatore :
f([x], [y]) = f([[x, y]]) = φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)] = [f([x]), f([y])] (2.24)
2.3 Nilpotenza e risolubilità delle algebre di Lie
Sia L un’algebra di Lie. Le sequenze di ideali
L (0) = L ; L (1) = [L, L] ; L (2) = [L (1) , L (1) ] ; ... ; L (i) = [L (i−1) , L (i−1) ] ; ... (2.25)
L 0 = L ; L 1 = [L, L] = L (1) ; L 2 = [L, L 1 ] ; ... ; L i = [L, L i−1 ] ; ... (2.26)
prendono il nome, rispettivamente, di serie derivata e serie centrale discendente (o inferiore) di L.
Osserviamo che L (i) ⊆ L i . Ragioniamo per induzione su i : per i = 1 abbiamo L (1) = L 1 ; se L (i) ⊆ L i
allora L (i+1) = [L (i) , L (i) ] ⊆ L i+1 = [L, L i ] per l’ipotesi induttiva e in quanto è ovvio che ogni ideale
della serie centrale discendente è contenuto (o al più coincidente) in L.
Definizione 2.3.1. Un’algebra di Lie L si dice risolubile se L (n) = 0 per qualche n. Ovviamente se
L (n) = 0 allora L (n+1) = [L (n) , L (n) ] = [0, 0] = 0, L (n+2) = [L (n+1) , L (n+1) ] = [0, 0] = 0 e così via :
ogni elemento della serie derivata che segue L (n) = 0 è a sua volta nullo.
Ogni algebra di Lie abeliana è risolubile in quanto L (1) = [L, L] = 0. Se L = 0 è un’algebra di Lie
semplice allora [L, L] = L = L (1) = L (0) e dunque :
ossia L non è risolubile.
L (0) = L (1) = L (2) = L (3) = ... (2.27)