Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

3.2. TEOREMA DI ENGEL 31
• a([f, g](b))+([f, g](a))b = a(f(g(b))−g(f(b)))+(f(g(a))−g(f(a)))b = a(f(g(b)))−a(g(f(b)))+
(f(g(a)))b − (g(f(a)))b = a(f(g(b))) + (f(g(a)))b − a(g(f(b))) − (g(f(a)))b
Se prendiamo un’algebra di Lie L su un campo F , allora L è una F -algebra (la forma bilineare
è il commutatore) e risulta definito Der(L) : esso è l’insieme degli endomorosfmi f di L tali che
f([x, y]) = [x, f(y)] + [f(x), y]. Fissato un elemento x ∈ L, consideriamo la sua immagine tramite la
rappresentazione aggiunta :
ad x : L → L
y ↦→ [x, y]
Essa è una derivazione di L. Infatti prima di tutto è un endomorfismo di L, ed inoltre, utilizzando
l’identità di Jacobi si ha :
ad x([y, z]) = [x, [y, z]] = −[y, [z, x]] − [z, [x, y]] = [y, [x, z]] + [[x, y], z] = [y, ad x(z)] + [ad x(y), z] (3.6)
Una derivazione di L di questa forma si dice interna ; le altre le diciamo esterne.
3.2 Teorema di Engel
Sia L un’algebra di Lie ed x un suo elemento. Diremo che x è ad-nilpotente se l’endomorismo ad x è
nilpotente.
Se L un’algebra di Lie nilpotente, ossia L n = 0 per un certo n, allora, per ogni x1, x2, ..., xn, y ∈ L
abbiamo :
ad x1(ad x2(· · · (ad xn(y)) · · · )) = 0 (3.7)
Infatti ad xn(y) = [xn, y] ∈ L 1 , ad xn−1(ad xn(y)) = [xn−1, ad xn(y)] ∈ L 2 e così via fino ad arrivare
all’applicazione di ad x1 che restituisce un elemento di L n , che deve essere nullo.
In particolare si ha (ad x) n = 0 per ogni elemento x di L. Dunque ogni elemento di un’algebra di Lie
nilpotente è ad-nilpotente.
Viceversa, se in un’algebra di Lie L vale la relazione ad x1(ad x2(· · · (ad xn(y)) · · · )) = 0 per ogni scelta
di x1, x2, ..., xn, y ∈ L, allora L è nilpotente poichè riusciamo ad ottenere tutti gli elementi di L n i
quali risultano nulli.
Vediamo ora il Teorema di Engel, il quale dice che se tutti gli elementi di un’algebra di Lie L sono
ad-nilpontenti, allora L è nilpotente.
Per la dimostrazione del Teorema di Engel ci è necessario premettere due risultati.
Lemma 3.2.1. Dato uno spazio vettoriale V e un suo endomorfismo nilpotente x, ad x è nilpotente.