Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

More documents

Recommendations

Info

12 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE In questo caso é facile osservare che la dimensione é n. A = (akl) = aii eii i = 1, ..., n (1.37) L’intersezione fra d(n, F ) e η(n, F ) é 0, in quanto le matrici di η(n, F ) hanno diagonale nulla e quindi fra esse appartiene a δ(n, F ) solo la matrice nulla. Possiamo allora considerare : d(n, F ) ⊕ η(n, F ) (1.38) Una matrice di questo sottospazio vettoriale appartiene a t(n, F ). Infatti se A é una matrice diagonale e B una strettamente triangolare superiore abbiamo : A + B = C = (cij) = (aij + bij) (1.39) e quindi per i > j si ha aij + bij = 0 + 0 = 0. Dunque d(n, F ) ⊕ η(n, F ) ⊆ t(n, F ). Viceversa una matrice A di t(n, F ) A = (akl) = aij eij eij ∈ B1. (1.40) si puó scrivere come somma di una matrice diagonale e una strettamente triangolare superiore : Ne consegue: A = n aii eii + i=1 i
1.3. MATRICI 13 Inoltre, dati f, g ∈ End(V ), l’endomorfismo [f, g] é rappresentato dalla matrice : A [f,g] = Af Ag − Ag Af = [Af , Ag] (1.43) Ad ogni endomorfismo di V associamo la traccia. La traccia di una matrice di gl(n, F ) é definita come la somma degli elementi della diagonale principale. Dato che le matrici che rappresentano un endomorfismo rispetto a due diverse basi di V sono simili e matrici simili hanno la stessa traccia, allora é ben definita la traccia di un endomorfismo di V . Date due matrici A, B ∈ gl(n, F ) abbiamo : • tr(A + B) = tr(A) + tr(B) • tr(A B) = tr(B A) • tr([A, B]) = tr(A B − B A) = tr(A B) − tr(B A) = tr(A B) − tr(B A) = 0 Valendo le seguenti proprietá, in End(V ) consideriamo l’insieme sl(V ) degli endomorfismi con traccia nulla. Siano f e g due elementi di sl(V ), Af e Ag le loro matrici associate rispetto ad una base e a ∈ F uno scalare. Allora : f + g → Af+g = Af + Ag ⇒ tr(f + g) = tr(Af + Ag) = 0 (1.44) a f → Aa f = Af ⇒ tr(a f) = tr(a Af ) = 0 (1.45) ossia f + g e a f hanno traccia nulla e perció sl(V ) é un sottospazio vettoriale di End(V ). Inoltre abbiamo : [f, g] = f ◦ g − g ◦ f → Af Ag − Ag Af → tr([f, g]) = 0 (1.46) Ci chiediamo quale sia la dimensione di sl(V ). Innanzitutto osserviamo che sl(V ) é isomorfa (attraverso l’isomorfismo fra End(V ) e gl(n, F ) sopra esibito) al sottospazio vettoriale di gl(n, F ) costituito dalle matrici con traccia nulla, che denotiamo con sl(n, F ). Allora ci basta capire qual é la dimensione di tale sottospazio di gl(n, F ). Non tutte le matrici di gl(n, F ) hanno traccia nulla (basti pensare a e11) per cui sl(n, F ) non coincide con gl(n, F ), ossia é un sottospazio vettoriale proprio e dunque di dimensione minore o uguale a n 2 − 1. Possiamo esibire n 2 − 1 matrici con traccia zero e linearmente indipendenti, per cui dim sl(n, F ) é
Page 1: UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
Page 4 and 5: ii INTRODUZIONE le algebre di Lie r
Page 6 and 7: iv INDICE 4.8 La matrice di Cartan
Page 8 and 9: 2 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA L
Page 16 and 17: 10 CAPITOLO 1. RICHIAMI DI ALGEBRA
Page 24 and 25: 18 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE (L2),
Page 26 and 27: 20 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE Inolt
Page 28 and 29: 22 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE Defin
Page 30 and 31: 24 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE f : L
Page 32 and 33: 26 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE massi
Page 34 and 35: 28 CAPITOLO 2. ALGEBRE DI LIE
Page 36 and 37: 30 CAPITOLO 3. ALGEBRE DI LIE SEMIS
Page 64 and 65: 58 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI co
Page 66 and 67: 60 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI co
Page 68 and 69:
62 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI qu
Page 70 and 71:
64 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI
Page 72 and 73:
66 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI 4.
Page 74 and 75:
68 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI L
Page 76 and 77:
70 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI po
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
76 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Ta
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
80 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI ap
Page 88 and 89:
82 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI in
Page 90 and 91:
84 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI ca
Page 92 and 93:
86 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI la
Page 94 and 95:
88 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Te
Page 96 and 97:
90 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Qu
Page 98 and 99:
92 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI Pr
Page 100 and 101:
94 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI co
Page 102 and 103:
96 CAPITOLO 4. SISTEMI DI RADICI ch
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
100 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFI
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
Page 122 and 123:
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
Page 128:
122 BIBLIOGRAFIA
show all

Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?