Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

116 CAPITOLO 5. TEOREMA DI CLASSIFICAZIONE
quindi l’immagine di β è ancora un elemento di Φ dato che j = h. Se invece gli ɛi di α e β hanno
segno opposto, allora < α, β >= −1 ed otteniamo :
∓ ɛi ± ɛh− < ∓ɛi ± ɛh, ±ɛi ± ɛj > (±ɛi ± ɛj) = ∓ɛi ± ɛh ± ɛi ± ɛj = ±ɛh ± ɛj
(5.34)
ossia l’immagine di β appartiene ancora a Φ. Infine potremmo avere i = k e j = h (il caso i = h e
j = k è analogo). Questa volta le possibilità sono 3. La prima è quella nella quale ɛi e ɛj hanno in α
e β entrambi lo stesso segno. Si ha < α, β >= 2 e quindi (β, α) = −2, da cui segue che l’immagine
di β è −β. La seconda possibilità è che gli ɛi compaiano in α e β con segni uguali e gli ɛj con segni
opposti (o viceversa, la situazione è analoga). Allora abbiamo che il prodotto scalare < α, β > è nullo
e dunque β viene mandato in se stesso. L’ultima possibilità è che sia ɛi che ɛj compaiano in α e β con
segno opposto. Allora (β, α) = 2 e accade quanto visto nella prima possibilità.
Dunque abbiamo verficato che σα(β) è ancora un vettore di Φ ed inoltre (β, α) è un intero comunque
si scelgano α e β nell’insieme Φ.
Consideriamo ora il sottoinsieme ∆ di Φ, costituito dai p vettori ɛ1 − ɛ2, ɛ2 − ɛ3, . . . , ɛp−1 − ɛp, ɛp.
Prendiamo una loro combinazione lineare che ci dia il vettore nullo :
a1(ɛ1 − ɛ2) + a2(ɛ2 − ɛ3) + · · · + ap−1(ɛp−1 − ɛp) + ap(ɛp) =
a1ɛ1 + (a2 − a1)ɛ2 + · · · + (ap−1 − ap−2)ɛp−1 + (ap − ap−1)ɛp = 0
Per l’indipendenza dei vettori ɛ1, . . . , ɛp, tutti i coefficienti della combinazione lineare sono nulli. Par-
tendo dal primo otteniamo a1 = 0, a2 = 0, . . . , ap−2 = 0, ap−1 = 0, ap = 0. Quindi i vettori di ∆ sono
indipendenti ed essi costituiscono una base di E. Come preannunciato, questo mostra che Φ è un
sistema di generatori di E : grazie alle caratteristiche di Φ viste sopra possiamo concludere che Φ è
un sistema di radici di E.
Vogliamo capire se ∆ è una base di Φ. Consideriamo una radice della forma ɛi. Allora abbiamo
ɛi = (ɛi − ɛi+1) + · · · + (ɛp−1 − ɛp) + ɛp. Di conseguenza un vettore della forma ɛi + ɛj si scrive
ugualmente come somma di elementi della base. Rimangono i vettori della forma ɛi − ɛj. Possiamo
supporre, senza ledere la generalità, che i sia minore di j (in caso contrario ne consideriamo l’oposto).
Ciò rende evidente che : ɛi − ɛj = (ɛi − ɛi+1) + · · · + (ɛj−1 − ɛj).
La radice semplice ɛ1 − ɛ2 è ortogonale a tutti le altre radici di ∆ tranne ɛ2 − ɛ3 e si ha :
(ɛ1 − ɛ2, ɛ2 − ɛ3)(ɛ2 − ɛ3, ɛ1 − ɛ2) = 1 (5.35)
Il vettore ɛp è ortogonale a tutte le radici semplici tranne ɛp−1 − ɛp e abbiamo :
(ɛp, ɛp−1 − ɛp)(ɛp−1 − ɛp, ɛp) = 2 (5.36)
Infine la radice semplice ɛi − ɛi+1 (con i = 1) è ortogonale a tutti le altre radici di ∆ tranne ɛi−1 − ɛi
e ɛi+i − ɛi+2 per le quali otteniamo :
(ɛi−1 − ɛi, ɛi − ɛi+1)(ɛi − ɛi+1, ɛi−1 − ɛi) = 1 (5.37)